簡單明了,一篇文章教你搞懂坐標系統

2020-12-05 騰訊網

1 、什麼是坐標系？

或許很多人心中明白這個概念，卻又不甚明白。什麼是坐標系？人們描述空間中的一個點或者一個位置，通常會採用坐標這個概念。可是這個坐標該怎麼計算呢？它的參考是誰呢？

坐標系由原點和坐標軸組成。坐標系種類很多，我們大家在數學中想必都學過笛卡爾坐標系、極坐標系、球面坐標系和柱面坐標系吧，在地學領域，用到最多的是平面坐標系、空間直角坐標系（前兩者屬於笛卡爾坐標系）和球面坐標系。比如說一個點坐標是（ -2850017.472 ， 4690744.523 ， 3237959.973 ）就是指空間直角坐標，而我們經常看到的 Google Earth 上的點的坐標（ 37°20′17″N ， 112°33′20″E ）就是指球面坐標。

測量學上，坐標系怎樣定義的呢？地球是一個不規則的類橢球，怎樣用嚴格的數學方式表示它，應該是測繪學家們所追求的高峰。為了表示地球上每一個點的位置，是不是要建立一個統一的世界坐標系呢？建立坐標系是不是要確定坐標原點和坐標軸呢？那怎樣建立呢？

測量學家們把地球當作一個規則的橢球來處理，這下就好辦多了，橢球中心就原點唄，長軸短軸就作為坐標軸，這樣一個坐標系就出來了啊。可是有人會問，那這個橢球怎麼表示呢？嘛嘛的，我也想問，原來這是科學家們利用天文觀測得到的，而且不同的科學家得到的橢球還不一樣，比如，一個叫 Krasovsky 的人搞了個克拉索夫斯基橢球，還有人搞了什麼 IUGG-1975 、 WGS-84 、 GRS80 橢球，他們主要特點是長半軸和扁率不同。可是又有人會問 (Y 的，問題好多啊 ) ，搞這麼多橢球幹嘛，有一個不就行啦。呵呵，我們知道，地球坑坑窪窪的，用嚴密的橢球來表示肯定有誤差，有的國家為了使自己的國家與橢球面吻合（最好大家都站在橢球面上），這樣根據各自的情況就定義了不同的參考橢球，比如北京 54 坐標系就採用了蘇聯老大哥的克拉索夫斯基橢球。

可是問題又來了，怎樣才算吻合得好呢？肯定會有人站在橢球面上，有人站在橢球面下，真頭疼。此時，測量學家們引入了大地基準面來衡量橢球與大地的吻合度。大地基準面是由大地水準面而來，是指平均海平面延伸到大陸得到的一個封閉曲面。比如，在建立北京 54 坐標系時，專家們肯定會選擇與中國的大地水準面吻合比較好的橢球。此時的橢球稱為參考橢球，建立的坐標系稱為參心坐標系，我國的北京 54 和西安 80 坐標系都是參心坐標系，是一種局部範圍的坐標系。然而這種坐標系對於全球定位來說極其不便，誤差很大，所以山姆大叔率先針對 GPS 系統設計了全球大地坐標系 WGS-84 坐標系統，這時的大地原點不再是參考橢球的中心，而是地球的質心。WGS84 橢球體的相關參數和 WGS84 坐標系的坐標軸指向請參考相關專業書籍。我國現有的國家 2000 坐標系也是一種全球大地坐標系，其與 WGS-84 坐標系稍微有點差異。

下面是幾種常見坐標系的橢球參數：

其中北京 54 坐標系和西安 80 坐標系是參心坐標系，而 WGS-84 坐標系與國家 2000 坐標系是地心坐標系，坐標原點是地球質心。

好啦，這樣大家明白了坐標系的定義了吧，首先，需要定義參考橢球體，有了參考橢球還需要大地基準面（全球大地坐標系就不要了），然後需要定義坐標系原點和坐標軸的指向。這樣一個坐標系就建立了，以後找妹子就方便多了，全球定位吧，關注測繪之家微信公眾號獲取更多姿勢，哈哈！

2 、為什麼要投影？

大家會想，有了坐標就行了，為什麼還要搞個讓人迷糊的投影？呵呵，前面我們講到的是以橢球體為參考來進行空間定位，一點都不直觀，如果哪天你和妹紙約會，妹紙說她在（ -2850017.472 ， 4690744.523 ， 3237959.973 ）或者（ 112°E ， 38°N ），尼瑪坑爹，這到底在哪個國家，離哥哥我有多遠啊，不知道啊，不至於拿個尺子去測吧。這時候，泡妞高手們想出了一個辦法，把球面投影到一個平面，用一個平面坐標（ x,y ）來表示地面點的位置，兩點之間求距離是不是很容易啊？這時候你會發現那個妹子不就是隔壁那妞嘛， 200 米不到（囧！哈哈）。當然，投影最大的目的不是方便把妹紙，而是地圖。所以投影就是把球面坐標轉化為平面坐標，也就是 3D 到 2D 的轉換。

投影有很多種，按性質分，比如等角投影，等積投影，等距投影，任意投影等。大家都知道，球面展開成平面，肯定是一個不嚴密（也可說不完美）的過程，會有不同程度的變形。如何選擇呢？比如在航海上，就需要等角投影，如果方向錯了就會差很多，我猜如果哥倫布那時知道這些就不會跑到美洲還以為到了印度吧。如果需要丈量面積，那就要選擇等積投影了。

3 、測量坐標幾種表示方式及轉換

常見的測量坐標包括大地坐標（ B 、 L 、 H ）、空間直角坐標（ X 、 Y 、 Z ）、平面坐標（ x 、 y 、 H ）。具體參考相關教程。

終於講到重點了，各種坐標怎樣轉換是大家最關心的。首先有一點要牢記：同一參考橢球下，大地坐標與空間直角坐標之間的轉換是嚴密的（數學關係對應），它們與平面坐標的轉換是不嚴密的，需要做投影轉換（想想也明白，把球面展成平面那可是難住了好多科學家呀）。而不同參考橢球之間的坐標轉換永遠都是非嚴密的。

坐標轉換原理：

同一橢球下的轉換

同一橢球下，大地坐標（ B 、 L 、 H ）與空間直角坐標（ X 、 Y 、 Z ）之間的轉換是嚴密的，其公式為：

而大地坐標（ B 、 L 、 H ）與空間直角坐標（ X 、 Y 、 Z ）向平面直角坐標的轉換屬於非嚴密的，需要進行球面到平面的投影選擇，通常將空間直角坐標轉換為大地坐標，然後在大地坐標和平面直角坐標之間採用高斯正算和反算公式進行計算。

不同橢球下的轉換

不同參考橢球下的坐標轉換實質是基準的轉換。如空間定位技術所採用的全球基準與地面網所採用的局部基準間的轉換。通常的轉換模型有布爾莎 - 沃爾夫模型和莫洛金斯基模型。這兩種模型都常用且非常相似，布爾莎模型在進行全球或者較大範圍內較為常用，但是莫洛金斯基模型可以克服布爾莎模型中旋轉參數與平移參數相關性高的問題。

兩個坐標系的轉換通常有三維七參數模型和二維四參數模型。

布爾莎模型又稱為七參數轉換，或者七參數赫爾默特變換。該模型共採用 7 個參數，分別為三個平移參數 (ΔX 、 ΔY 、 ΔZ) 和三個旋轉參數 (ωx 、 ωy 、 ωz) 和一個尺度參數 k 。

上式是一個 WGS84 下的空間直角坐標轉換到 CGCS2000 下的空間直角坐標的布爾莎模型，有七個未知參數，簡單的求解，只需要 3 個公共點就可以了，如果要得到嚴密解，就需要更多的公共點進行最小二乘平差解算。而對於大地坐標，可以轉成空間直角坐標再解算，也可以直接利用布爾莎模型。

- 完 -

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