宇宙的奧秘，就藏在他的筆記本中

文 | W先森、難得君

「拉馬努金是印度在過去一千年中最偉大的數學家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數學家感到迷惑，在他死後70多年，他的論文中埋藏的秘密依然在被挖掘出來。他的定理被應用到他活著的時候很難想像到的領域。」

—羅伯特·卡尼蓋爾《知無涯者：拉馬努金傳》

「我一生中對數學最大的貢獻，並非是我的研究成果，而是發現了拉馬努金」

—戈弗雷·哈代（英國數學家）

01

印度之子

是的，今天我想說的就是天才數學家，與「聖雄」甘地、詩人泰戈爾齊名，被譽為「印度之子」的斯裡尼瓦瑟·拉馬努金（SRINIVASA RAMANUJAN）。

2000年《時代》周刊選出了100位20世紀最具影響力的人物，其中就有拉馬努金，並稱讚他是一千年來印度最偉大的數學家。

1887年，拉馬努金出生於印度東南部泰米爾納德邦的埃羅德，他是南亞民族之一的泰米爾人。拉馬努金種姓本是婆羅門，屬於貴族，不過家族沒落了，極度窮困。

大部分出生在這樣家庭的孩子，都會平淡無奇度過自己的一生，但偏偏命運女神挑中了這個男孩，讓在他短暫一生中，綻放出如煙花般絢麗多彩的生命。

拉馬努金在10歲進入貢伯戈訥姆一所中學讀書。

中學時，他家住了兩個房客，是公立大學的學生，與兩個大學生的接觸，使拉馬努金第一次接觸到數學，並表現出了超人的天賦。

經過1年時間的學習，他就已經掌握了大學高等數學的全部知識。面對拉馬努金，兩位大學生已經傾囊相授，無法傳授他更多數學知識，於是給了拉馬努金一本高等三角學的書。

在沒有任何老師的指導下，拉馬努金僅僅用了2年時間的自學，在他13歲時，不僅全部掌握了這本書的內容，而且還發現了更複雜的定理。

16歲時，拉馬努金機緣巧合得到了一本書，如獲至寶，這本書來自英國數學家卡爾的《純數學和應用數學概要》。

這是一本難度非常大的書，因為書中所列出的多達5000個數學方程式（包含定理，公式，長式，內容涉及代數、三角學、微積分、解析幾何和微分方程），卻並未給出詳細的證明。

這本書引起了拉馬努金極大的興趣，他開始潛心研究公式，依靠直覺，對數學公式進行不加證明的跨越式學習並推演，這也幫助他形成了日後直覺式的數學思維。

什麼是直覺式的數學思維？

舉個簡單的例子，比如我們上初中學習幾何，很多證明題，比如垂直、等分邊角，其實憑直覺就能得出答案，但是做題和考試的時候，你必須按照步驟，通過冗長繁瑣的計算，最後得出最開始的結論。那麼，最開始你的判斷，就是一種數學直覺思維。

拉馬努金以優異的成績畢業於貢伯戈納姆高中，進入當地著名的貢伯戈納姆學院。

拉馬努金花了5年時間，把這本奇書《純數學和應用數學概要》中每一個方程式當成一個課題，用自己的方式對其進證明，甚至對一些公式進行進一步的推演，從而發現了全新的數學公式。

這本書將拉馬努金帶進了全新的數學世界，他忘我的把所有的精力都投入到了數學的研究之中。

但是這造成了一個嚴重的後果：偏科。他的英語和文科嚴重不及格，不但失去了獎學金，還被管理極其嚴格的大學開除。

1905年，18歲的他為此離家出走3個月。一年後，拉馬努金被馬德拉斯的帕凱亞帕學院錄取，但這個數學成績優異的學生，還是難以逃脫被開除的命運，他的5門文科課程兩次不及格。

因為沒有取得大學文憑，拉馬努金找不到工作，陷入極度窮困，經常連飯都吃不上，身體也越來越差。

為了維持生計，他只能給即將考大學的學生補習功課，同時從圖書館借來數學書，然後把自己的研究結論寫在筆記本裡。

根據印度的習俗（泰米爾族的婚姻通常都是經由長輩安排，女生由姐姐，男生由兄長，女生通常於其月經初來時結婚，男性則會在二十歲之後結婚），拉馬努金家人在他22歲為他安排了婚事，妻子名叫佳娜琪，年齡僅有9歲，這在當時的印度是相當普遍的現象。

拉馬努金是家中長子，成家之後，就必須為一家人的生計而奔波，努力尋找工作。

真正改變拉馬努金人生軌跡的是拉馬斯瓦米.艾耶爾（RAMASWAMI AIYER），他是印度數學協會的的創始人。

當拉馬努金向他展示了平時研究數學的筆記本後，艾耶爾看完大為震驚，把他推薦給了自己在馬德拉斯的一位數學家朋友拉奧(R. Rao)。

這位數學家看到筆記後，首先懷疑這些研究成果是否出自一位年輕人，因為裡面有很多數學公式他都沒見過，但證明一下又感覺都對。

他認為拉馬努金只適合搞數學而不適合做其他工作，因此寧願每個月給他一些錢，讓他港務信託處掛名不上班，在家專心從事數學研究。

這樣拉馬努金終於第一次可以不用餓著肚子研究數學了，拉馬努金開始全身心投入到數學研究之中。

02

天才？

請你看看我的臂肘吧

一位老朋友探望他時說道：「人們都稱讚你是數學的天才！」

拉馬努金聽了後笑道：「天才？請你看看我的臂肘吧！」

他的臂肘的皮膚顯得又黑又厚。他解釋道，他日夜在石板上計算，用破布來擦掉石板上的字太花時間了，每幾分鐘他就用肘直接擦石板的字。

朋友問他：「既然要做這麼多計算為什麼不用紙來寫？」

拉馬努金無奈的說，他連吃飯都成問題，哪裡有錢去買紙來算題呢！

原來拉馬努金覺得依靠別人生活心裡很是慚愧，已經有一個月不去拿錢了。

時間長了，以至於他的胳膊肘上長了厚厚的繭！

經過長期不懈的努力，拉馬努金於1911年在當時著名的《印度數學學會雜誌》上發表了自己的第一篇論文《一個公式求解，也就是根號下的無限序列》。

這個公式就是後來著名的拉馬努金恆等式。

從這篇文章開始，他算正式進入了數學界。從1911到1919年，8年的時間裡，拉馬努金向《印度數學學會雜誌》提交了共58篇文章。

拉馬努金的研究成果，得到了印度數學界的高度認可。但是當時印度數學整體水平不高，於是很多數學家建議他應該進入更高的研究領域。

於是拉馬努金把自己研究出來的大量數學公式寄給了英國劍橋大學的幾位著名數學家：貝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. HOBSON）、哈代（G. H. Hardy）。

但是只有戈弗雷·哈代（GODFREY Harold Hardy）認真看了這個來自印度南部年輕人的信。

作為三一學院的院士，哈代被這個未受過專業訓練、天才般的年輕人所震驚，說：「只要看它們（公式）一眼就知道只有一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的，因為如果不是的話，沒人能有足夠的想像力來發明他們。」

哈代回信讓拉馬努金來到英國劍橋三一學院和他一起從事數學研究（其實拉馬努金為了能夠繼續學習數學，做出了極大的思想鬥爭和犧牲，由於宗教和文化差異，婆羅門和遵守教規的印度教徒是不能漂洋過海的）。

接下來的這段時間便開創了一段數學史乃至科學史上的傳奇故事。

「拉馬努金因哈代而嶄露頭角，哈代因拉馬努金而增光溢彩」。

這段美好的時光也被哈代稱為「我人生中最浪漫的意外」。

伯樂--戈弗雷·哈代（GODFREY Harold Hardy）

戈弗雷·哈代（1877年－1947年），出生於英格蘭薩裡郡，畢業於劍橋大學三一學院，後又在劍橋大學、牛津大學任教並成為英國皇家學會成員。

他有著英國數學家的嚴謹更有著一顆包容萬象的心。他長期擔任牛津大學和劍橋大學的數學教授職位，與摯友英國數學家利特爾伍德進行了長達35年的合作，發表了上百篇論文。

他在1940年發表了數學之美的隨筆《一個數學家的辯白》，書中囊括了他對純數學和數學應用的看法，被認為是寫給外行人的著作中最好的書。

從1914年開始，哈代成為拉馬努金的導師，開始了這段「人生中的浪漫的意外」

03

娜瑪卡爾女神

娜瑪卡爾女神，又稱吉祥天女（音為拉克什米或樂溼彌（LAKSMI）），是婆羅門教、印度教的幸福與財富女神，傳統上被認為是毗溼奴的妻子。印度查謨和克什米爾邦的主要城市斯利那加拉，意為「吉祥天城」。

吉祥天女也被佛教引為護法神，《金光明經》中有「大吉祥天女咒」（善女天咒），佛教《大吉祥天女十二名號經》，這也是佛教徒日課中，時常念誦的「十小咒」之一。

哈代不止一次的問拉馬努金：「你是如何寫出這些公式的？」

因為顯然這些公式不是可以通過常規推導出來的，拉馬努金說，他經常在夢中得到印度女神娜瑪卡爾的啟示，早晨醒來就能憑直覺寫下不少數學公式和命題。

拉馬努金常說在他做夢的時候，思路無比的清晰，他可以接收到巨大的信息量，在一個特別的夢裡：他看到了一面巨大的紅牆，然後上面出現了一隻手，寫下了一個又一個數學公式，他記住了那些公式，然後等他醒來時，就立刻用筆記本記錄下來。

他經常說：「一個方程對我沒有意義，除非它代表了神的一個想法。」

實際上拉馬努金所寫的大部分公式，直到現在都是最前沿的。

拉馬努金沒有受過正統專業的數學教育，他初到劍橋，對哈代超出數學範圍的談話幾乎不懂。

他聽哈代說話時總帶著耐心的微笑，面容友善、真誠。由於兩人受教育程度不同，用詞及表述也就有差異，即使是談論數學，溝通也相當困難。

拉馬努金屬於自學成才，他對現代學術意義上的嚴謹一無所知，在某種程度上，他甚至不知道什麼叫證明。

於是哈代就向他演示如何寫出嚴謹的數學證明。

哈代花了很多心血教授拉馬努金現代數學知識，他發現拉馬努金知識的局限竟然與它的深奧同樣令人吃驚。

他們跨越了種族，文化（拉馬努金是個虔誠的婆羅門教徒，哈代則是個無神論者）和國界的限制，拉馬努金在哈代的幫助下，從一個狂熱的業餘愛好者變成了可以寫出世界級數學論文的專家。

分拆數的漸進式

5年的時間裡，他們的合作推動了數學史跨越式的進步，他們共同發表了28篇重要論文。

其中一篇更是震驚了整個數學界，這篇論文為困擾了數學家幾個世紀的整數分拆，提供了一種可靠的計算方法（分拆數公式）。

正是憑藉這篇論文，1918年拉馬努金被提名為皇家學會會員（英國數學界的最高榮譽），他是亞洲第一位被提名的外籍會員，也是有史以來最年輕的會員（30歲），還擔任了劍橋大學三一學院的院士（劍橋大學中規模、財力、名聲最大的學院），三十歲便已享譽國際，拉馬努金走到了他榮譽的巔峰。

04

積年累月、廢寢忘食的投身到數學研究中，拉馬努金疾病纏身，最終病倒了。

拉馬努金在劍橋就讀的時間恰恰是第一次世界大戰(1914年—1918年)期間，英國作為參戰國，在這場戰爭中，劍橋大學的學生兩千多人陣亡。在此期間就讀，無疑會受到巨大影響。

儘管拉馬努金此時已經成年，但在心理上始終是一個未成年人，在與哈代合作的同時，他也沉溺於鄉愁之中。

而且，作為一名虔誠的印度教教徒及婆羅門種姓人，他謹守教規，絕不食用劍橋大學食堂裡含葷油的食物，只在宿舍裡自己做飯吃。

拉馬努金喜歡把蔬菜罐頭直接放在煤氣上加熱後食用

戰爭期間食物短缺，拉馬努金又不去食堂，因此經常吃不飽，導致嚴重的營養不良，再加上倫敦的嚴寒潮溼，終於，在來到英國的第四年春天，拉馬努金病倒了。

而哈代是一位無神論者，拉馬努金則是虔誠的印度教徒，兩人除了在學術上有深入交流外，在日常生活中兩人的交集並不多。

哈代堪稱拉馬努金學術上的良師，但並非他「生活中的朋友」。

拉馬努金倒下了，由於戰爭的原因，醫療條件簡陋，最先醫院認為他得了胃潰瘍，後來又認為是血液中毒（鉛中毒），最後才確診他是肺結核。

在肺結核晚期的折磨中，拉馬努金痛不欲生，但是絲毫不影響他大腦的繼續運轉，反而更加高速有效。

也許上天留給他的時間不多了，拉馬努金如醍醐灌頂，那些跳脫的數字，不斷地在進行著排列組合，每一秒都會有新的公式跳出，都有可能改寫數學史。

的士數（哈代-拉馬努金數）

有一天哈代去醫院探望拉馬努金，當他走進拉馬努金住院的病房時，隨口說出所乘坐出的租車牌號「1729」，他說這是一個無聊乏味的數字，並希望這不是什麼壞兆頭。

而拉馬努金的第一反應卻是：「哈代你錯了，這是個有趣的數字，因為這個整數可以寫成12的立方與1的立方之和，也可以寫成10的立方與9的立方之和，它是能用兩種不同方式表示為兩個正立方數之和的最小的數。」

數學家李特爾伍德聽說這件事後，感嘆道：「每個整數都是拉馬努金的朋友。」

1919年3月，一戰結束，思鄉心切的拉馬努金終於返回了印度。

當拉馬努金最早的資助者、數學家拉奧前往火車站迎接時，他看到的是一個消瘦憔悴滿臉病態的人，「我看到結局了」，他後來回憶說。

當地的名流排著隊去拜見這位天才，富人們爭先恐後地要為他支付醫療和其他費用，或者把自己的房子讓給他住。

因為，印度歷史上沒有任何人能達到他在世界科學界的地位和名望。

可是，拉馬努金已經沒有時間去享受這些榮譽了。

去世前的一段時間，拉馬努金陷入了瘋狂狀態，幾乎所有的事情他都會聯想到數學上面。

05

在夢中，女神娜瑪卡爾給了他最後的啟示：模θ函數。

當拉馬努金寫出這個公式時，即使全世界最頂尖的數學家也看不懂。

直到，一個世紀後的2012年，這個公式才被破解。

數學家發現它可以用來解釋黑洞的的部分奧秘，而令人吃驚的是，當拉馬努金首次提出這種函數的時候，人們還不知道黑洞是什麼！

拉馬努金猜測：

在輸入特殊值時，也許能這樣描述模θ函數，它和模形式毫不相像，但特性類似，這種特殊值稱為奇點。

拉馬努金相信對於每一個這樣的函數，存在一個模θ函數，使得不僅奇點相同，奇點的函數值也以幾乎同樣的速率趨近於無窮。

而黑洞的中心其實就是一個奇點，在這個奇點上，時空曲率和物質密度都趨於無窮大，時空達到盡頭，引力彎曲成了一個陷阱，變成了一個無限吞滅物質的無底洞。

1920年4月，拉馬努金去世，年僅32歲。

哈代得知消息後大受打擊，因為拉馬努金去世前兩個月，還以愉悅的語氣寫信給他，報告他新的研究成果。

哈代深感悲傷與遺憾的說：「我們都是在學習數學，而拉馬努金是在發現並創造數學。」

哈代在自己設計的一種關於數學天才的非正式評分表中，給自己評了25分，給另一位傑出的數學家李特爾伍德評了30分，給他同時代最偉大的數學家希爾伯特（D. Hilbert）評了80分，而他給拉馬努金評了100分。

他認為拉馬努金的才華與「數學之神」歐拉（L. Euler）相當。

拉馬努金與「數學之神」歐拉

06

神奇的筆記本

拉馬努金去世後，留下了3本厚厚的筆記本，裡面記錄了超過3000多條未經證明的數學公式和定理。

這些公式全部都是他憑直覺寫出的，其中，有許多已經被科學家證實。

如，比利時數學家德利涅（V. DELIGNE），1973年證明了拉馬努金1916年提出的一個猜想，並因此獲得了1978年的菲爾茲獎（數學界的諾貝爾獎）。

拉馬努金是人類過去一千年裡，誕生的最偉大的數學家。

他的數學直覺究竟從何而來？

直到今天，數學家都感到迷惑。

在他死後近100年時間裡，他的筆記本中記錄的公式定理不斷被驗證。

除了在數學領域外，很多公式、定理在粒子物理、統計力學、計算機科學、密碼技術、空間技術等不同領域發揮著重要作用。

The Man Who Knew Infinity

知無涯者

《莊子·養生主》中曾寫道：吾生也有涯，而知也無涯。（個人生命是有限的，但知識卻是沒有邊界的。）

2015年上映的電影《The Man Who Knew Infinity》的中文譯名《知無涯者》正是出自於此，這部電影講述了印度數學天才斯裡尼瓦瑟·拉馬努金傳奇的一生。

拉馬努金一生堅信：娜瑪卡爾女神在夢中給予他靈感。

很多科學家認為，做夢可能是人的意識進入到了四維空間。也許，在夢中，拉馬努金洞察了宇宙的真相！