對數學來說，2020是爭議的一年。
今年4月初，一則與數學有關的新聞引發軒然大波：由日本數學家望月新一發展的ABC猜想證明，將要被正式發表在由望月本人擔任主編的期刊《數理解析研究所公刊》上。這是望月在2012年就宣稱已經成功證明的結果，然而鑑於他的理論不僅面臨不被數學界理解的尷尬境地，並在2018年9月遭到了數學家Peter Scholze和Jakob Stix指出其論證中存在根本性錯誤，這一事件一直備受爭議。ABC猜想究竟是否已得到證明，我們難以判斷，只能等待時間告訴我們答案。
對數學來說，2020也是告別的一年。
同樣在今年4月，被稱為是世界上最可愛的自大狂數學家約翰·霍頓·康威，因COVID-19逝世。康威或許是世界上最有趣、最神奇的數學家，他喜歡玩遊戲、發明小遊戲、改寫遊戲規則，並在20世紀60年代末發明了生命遊戲。他也不乏嚴肅的數學成就，他發現了三個零散單群，其中最大的被命名為康威群；他最為之驕傲的是發明了一類新型的數字，被稱為超現實數；他在數論、代數、幾何拓撲等數學領域都做出了重大貢獻。這位風趣、搞怪、才華橫溢的數學家獲得過眾多數學獎項，然而卻敗給了這場給無數人帶來傷痛的病毒大流行。
儘管如此，毫無疑問，對數學來說2020也是收穫的一年：一些困擾數學家已久的謎題得到了徹底解決，一些困擾數學家數百年的問題取得了重大突破，一些定理得到了證明，一些技術取得了重大進展……在2020即將結束之際，讓我們回顧在這一年裡，數學領域都發生了什麼趣事。
幾何山羊問題的精確解
外部山羊問題：一隻山羊被拴在圓形的池塘旁邊的圍欄上，繩子的長度等於圍欄的周長，灰色區域和淺綠色區域為山羊可以食草的區域。| 圖片參考來源：Ingo Ullisch & QuantaMagazine | 擴展閱讀：《兩百多年前的這道簡單數學題，終於有了精確解！》
1748年，倫敦的一個數學期刊上刊登了這樣一個問題：一匹馬被拴在公園裡的圓形圍欄上，圓形圍欄的周長為160碼，與拴住了馬的繩子長度相同。問，馬可以走動的最大面積是多少？後來，這個問題中的馬變成了山羊，成了幾何山羊問題的外部版本的最早記錄。
1894年，幾何山羊問題的內部版本被發表在了《美國數學月刊》上，問題可被概括為：一隻用繩子固定在圓形圍欄上的山羊，繩長為多少時，山羊的活動範圍剛好為圓形圍欄所圍範圍的一半？
這兩個問題看似簡單，其實極具挑戰，且內部問題比外部問題更為複雜。一直以來，數學家和數學愛好者只知道它的近似解，不知其確切解。直至今年2月，德國數學家Ingo Ullisch將複分析運用到求解一個超越方程，推導出了一個能表示繩長的表達式，找到了內部山羊問題的首個精確解。
三個公用設施問題
三個房子與三種公用設施相連的問題。| 圖片參考來源：University of Copenhagen | 擴展閱讀：《停滯了20多年一個數學問題，終於有了新突破！》
1913年，《斯特蘭德雜誌》刊登了一個名為「三個公用設施問題」的腦筋急轉彎，問題是有三間房和三種公用設施（水、氣、電），如果每一間房都與三種公用設施相連，是否能做到讓所有的連線互相不交叉。
從數學角度看，這其實是一個與圖論中的可平面圖概念有關的問題，它實質上討論的是對一個圖形來說，如何在連線不交叉的情況下將節點用連線連接，以及如何用算法來確保一個圖形在發生變更後仍能保持可平面性。這一問題的上一次突破出現在1996年，當時，4名計算機科學家發展出了一種測試圖形的可平面性的算法，但那種算法在實際操作中的效率不高。自那時起，對這一問題的研究進展就幾近停滯。
最近的重大突破發生在今年6月。計算機科學家Jacob Holm和Eva Rotenberg意識到，可平面圖可平面圖具有多種不同的繪製方式，而在不同的繪製方式中，點與點之間的連接仍相同，只是連線之間的相對位置有可能不同。通過對可平面圖的這一特點加以利用，他們發表了一種能以指數級改進檢驗圖形的可平面性的算法。
正十二面體的直線路徑問題
正十二面體上存在這樣的直線，它從一個頂點出發可以返回這個頂點，且無需經過其他任何頂點。| 圖片參考來源：J Athreya et. al| 擴展閱讀：《正十二面體的一個最基本謎題被破解了》
這是一個關於在一個假想的「正多面體世界」走直線的問題：假如我們生活的世界是一個正多面體，那麼是否可能存在這樣的直線路徑，使你從某個頂點出發，順著直線一直前行的途中，可以在不經過其他任何頂點的情況下返回原點。
數學家早已知道，對於由三角形構成的正四面體、八面體、二十面體，以及由正方形構成的立方體來說，這個問題的答案是否定的。卻一直不知道由五邊形組成的正十二面體的情況。
今年5月，《實驗數學》雜誌上刊登了一項研究，數學家Jayadev Athreya等利用將圖形與現代計算機方法結合，證明了對於正十二面體來說，不僅存在這樣的直線路徑，並且這樣的直線路徑還有無數個。
破解凱勒猜想
在二維空間中，用相同大小的正方形進行密鋪時，總會出現兩個正方形具有一整條共享邊的情況；在三維空間中，當用大小相同的立方體進行完全填充時，也必定會有兩個立方體完全共享一個面的情況。數學家不禁想知道，如果維度一直上升，情況又會如何呢？1930年，德國數學家奧特-海因裡希·凱勒提出猜想，認為這種模式適用於任何維度。
在接下來的時間裡，凱勒猜想在六維以及更小的維度上被驗證為正確，但當維度提高到八維及以上時，猜想便不再成立。唯獨七維空間中的情況是未知的。
今年12月，一個由計算機科學家和數學家組成的團隊，通過利用一種被稱為「凱勒圖」的圖形，將這個與無窮大有關的問題，簡化成了與幾個數字有關的算術問題，並最終證明了凱勒猜想在七維空間中仍然正確。至此，這個已存在90年之久的謎題被徹底解開。
MIP* = RE