12月10日（本周六），我們將會遇到境內觀測條件最好的一次月全食。從北京時間19點33分開始，月亮進入地球的半影，到晚上22點06分，月亮全部進入本影，全食階段就此開始。
人類對月食的觀測記錄以及研究由來已久。早在古希臘時代，一些偉大的學者對包括月食在內的各種天象進行了長期的觀察。這些人沒有什麼儀器，僅僅用簡單的測量和超牛的大腦就估算出了地球、月亮和太陽三者的尺度及相互之間的距離。他們是怎麼做到的？
地球是球形的
「地球是個球」在今天看來像廢話一樣。但對古希臘人來說，這件事卻沒那麼簡單。亞里斯多德在他的著作記述了很多用於證明地球是球形的證據。由於缺乏觀測手段和受限於活動範圍，這些證據並不都對，但確實很有意思的，比如：
— 既然落下的水滴傾向於成為球形，那麼誕生於混沌之中的地球也理所當然的是球形的。此外希臘人也鍾情於球形和圓形，例如畢達哥拉斯就認為地球應該是最完美和諧的形狀——球形。（其實沒有聯繫）
— 從希臘向西走（進入非洲）會見到大象，向東走（進入亞洲）也會見到大象，那麼西邊的大象一定是繞過了整個地球又回到了東邊。（這一條錯的比較嚴重）
— 眺望地中海上歸航的帆船，總是先看到桅杆頂，後看到船身。（這一條很著名，並且是正確的）
— 在不同緯度看到北極星在天球上的高度不同，越往北高度越高；而且會看到不同的星空。（這也是正確的）
實際上，月食的過程就能證明地球是球形的。亞里斯多德注意到月食總是發生在滿月的時候，說明地球這時候處於月亮和太陽之間，因此月亮進入的黑暗區域其實就是地球投射在月亮上的影子（地球本影）。既然當月食發生的時候，無論地月日三者的相對位置怎麼變化，地球投射在月面上的影子邊緣總是呈圓弧狀，那麼地球一定是球形的。假如地球長得像張大餅，那麼月食的時候就應該有可能看到橢圓弧。同樣的，對日食的觀測讓亞里斯多德得出了月亮也是球形的結論。
地球的尺寸
知道地球是球形的後，學者們自然就很想知道的它的周長是多少。希臘學者埃拉託斯特尼（EratosthenesofCyrene）是亞歷山大圖書館的第三任館長，他從書中得知每年的6月21日這天，太陽在正午能夠直射入埃及亞斯文的水井中（今天我們知道這是太陽在夏至能夠直射北回歸線，正午的光線和地面呈直角）。但是他在亞歷山大卻發現當天正午的光線總是以7°左右（7°12'）的角度射進水井。
埃拉託斯特尼知道地球是球形的，還了解弧長和半徑的關係：
其中S是亞歷山大和亞斯文之間的距離（可以僱傭一個商船隊測量出來），r是半徑，θ是光線入射的角度。假如用C表示地球的周長，再代入公式1中的r值，則地球的周長就是：
他將測得的數據代入這個公式，算出地球周長是39,690公裡,相比我們今天知道的數值（40,076公裡）僅有2%的誤差。
實際上，公式中的幾個數值在當時都很難測的精確。比如亞歷山大和亞斯文之間的距離S就只能依賴船隊的測量，但航線並不是直線，亞歷山大也並不在亞斯文的正北方，另外只有精確地確定太陽在天頂的時刻，才能準確知道θ的值，這在當時也很難做到。因此在這樣的條件下，誤差卻小得驚人，以至於不得不說可能有點運氣的成分在內。不過即使用今天的眼光來看，這一方法依然是很經典的。
月亮的尺寸和地月距離
比埃拉託斯特尼年長30多歲的希臘學者阿里斯塔克斯曾通過月食來估算月亮大小。那時候的希臘人已經知道地月軌道面和日地軌道面之間有一個小夾角，因而並非每次地球處於月亮和太陽之間都會產生月食。又因為地球比月亮大，所以發生月食時，月亮可能從地球本影的上部、下部或者正中經過，因此每次月食持續的時間都不太一樣。阿里斯塔克斯假設太陽距離地球非常遠，遠到地球在月亮軌道上的投影與地球一樣大。
月亮在持續時間很長的月食中（從地球本影的正中間經過，如下圖），從本影穿過的時間大約是1小時，是它從初虧到完全進入地球影子（食既）的時間（經歷一個月球直徑）的1/2。而月球大約每30天繞地球一圈，所以每小時它在星空中移動0.5°，恰好等於月球在天上的張角，也就是視直徑。所以阿里斯塔克最初估計，月亮的直徑為地球的1/2。
但實際上，阿里斯塔克斯知道太陽與地球之間其沒有遠到那種地步，它們之間的光路其實應該如下圖所示，很顯然，地球本影在月亮軌道上的大小要小於地球的直徑。所以他得到的其實是地球在月亮軌道上的本影直徑，大小是月亮直徑的2倍。據此他求解出地球本影的大小，從而得到更為準確的月亮直徑。
我們不妨來看一下這個簡單的計算過程。設A為地球本影落在月亮軌道上的弧度，B是太陽角大小的一半。角大小（angularsize）指的是從觀察者角度看過去天體所包含的視場角度值，天文上用它來表示天體目視大小，這裡用弧度表示。由於A+B+C=π，而E、C、D同屬一個三角形的三個角，所以E+C+D=π，因此
因為這些弧度都比較小，所以能得到如下的近似表達式。這裡R是半徑，D是距離；下標中的e為地球，m為月亮，s為太陽：
代入(3)：
因為在地球上看太陽和月亮幾乎一樣大（日食的時候，月亮正好遮住太陽），所以它們的角大小几乎相等，即：
代入上式的最後一項，可以得到：
整理後就是：
由於地月距離遠小於地日距離，(Dem/Des)約等於0。所以上式可以簡化為：
這個公式告訴我們地球在月亮軌道上本影的半徑，正好是地球的半徑減去月亮的半徑。
此前阿里斯塔克斯對月食的觀察得到
因此
由此可得：
即地球直徑是月亮直徑的3倍，這個數據和今天所知的3.5倍有差別。這是因為初虧與食既間隔的時間大約為1小時，而從食既到復圓花費的時間是2.5小時左右。阿里斯塔克斯記錄的（或者是他從巴比倫人記載的記錄中查到的）時間比為2，這種對月食各階段時間觀察的不準確就導致了最終的誤差。
有了月球直徑這個數據後，阿里斯塔克斯又用一個巧妙的方法估算了地月距離：他舉起一個大拇指對著月亮，當拇指完全能夠遮住月亮的時候，它和眼睛之間的距離與拇指尖寬度的比值大約為110，根據相似形的原理，這個值等於地月之間距離與月亮直徑的比值，由於已經知道月亮的直徑，所以很容易求出地月之間的距離。
其實更為準確的計算地月距離的方法是利用視差。假設有兩個人在緯度不同的地方記錄月亮與背景星空的位置，通過測量月亮位置的變化，就可以得到視差的角度。再測量出兩地之間的距離，用簡單的三角關係式就可以很準確方便地求出地月距離。當年的地中海及埃及地區完全可以提供這樣的觀測條件，計時也許有難度但也並非不可能，可奇怪的是這個方法沒有被古希臘學者們採用。
太陽的尺寸和日地距離
由於太陽看起來和月亮一樣大，根據上文的方法，阿里斯塔克斯估計地日之間的距離與太陽直徑的比值也是110左右。他推斷月亮正好被照亮一半（上弦月或下弦月）的時候，日月之間的連線和地月之間的連線應該垂直，如下圖。這樣在已知地月距離L的情況下，只要求出日地連線與地月連線的夾角φ，就通過餘弦公式算得地日之間的距離S。
可惜的是，這個方法理論上正確，實踐起來卻很困難。在當時的觀測條件下，阿里斯塔克斯無法確定上弦月的準確時間，他測得的φ為87°左右，與實際值89.853°的誤差較大。阿里斯塔克斯得出了日地距離是月地距離20倍的結論，但實際上前者是後者的390倍。因為這個錯誤，他求出的太陽直徑也比真實值小了很多。
雖然阿里斯塔克斯的結果有巨大的誤差，但是他計算的邏輯確實是正確的。他算出太陽直徑遠大於地球直徑，這使得他意識到地球圍著太陽轉才是符合邏輯的。因此阿里斯塔克斯是歷史上第一位把太陽放在宇宙中心，提出日心說的人。可惜他的著作不被當時的主流學者接受，這一偉大的發現被埋沒了上千年，後人把他稱為希臘的哥白尼。
觀測月全食！你能算算嗎？
回顧了人類探索宇宙尺度的早期歷史之後，你是不是被牛人們的智慧震驚了呢？其實只要用上本文介紹的一些知識點，配上簡易的工具——相機，你也可以測量月亮的大小。當看到或者拍到一張月食照片時（如上圖），在知道地球大小的情況下，你能算出月亮的尺寸嗎？試試看吧。（文/果殼網）