快速傅立葉變換(FFT)結果的物理意義是什麼?(附Matlab程序)

2020-12-01 電子產品世界

FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什麼特徵的，但是如果變換到頻域之後，就很容易看出特徵了。這就是很多信號分析採用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。

本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/201610/308926.htm

雖然很多人都知道FFT是什麼，可以用來做什麼，怎麼去做，但是卻不知道FFT之後的結果是什麼意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC採樣之後，就變成了數位訊號。採樣定理告訴我們，採樣頻率要大於信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

採樣得到的數位訊號，就可以做FFT變換了。N個採樣點，經過FFT之後，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。

假設採樣頻率為Fs，信號頻率F，採樣點數為N。那麼FFT之後結果就是一個為N點的複數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什麼關係呢?假設原始信號的峰值為A，那麼FFT的結果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量(即0Hz)，而最後一個點N的再下一個點(實際上這個點是不存在的，這裡是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最後)則表示採樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果採樣頻率Fs為1024Hz，採樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的採樣率採樣1024點，剛好是1秒，也就是說，採樣1秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果採樣2秒時間的信號並做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加採樣點數，也即採樣時間。頻率解析度和採樣時間是倒數關係。

假設FFT之後某點n用複數a+bi表示，那麼這個複數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點(n≠1，且n=N/2)對應的信號的表達式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對於n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。

由於FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小於採樣頻率一半的結果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個實際的信號來做說明。

假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的採樣率對這個信號進行採樣，總共採樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢?我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

FFT的結果

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：

1點： 512+0i

2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51點：332.55 - 192i

52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76點：3.4315E-12 + 192i

77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下：

1點： 512

51點：384

76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2;50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。

然後再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。

總結：假設採樣頻率為Fs，採樣點數為N，做FFT之後，某一點n(n從1開始)表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N;該點的模值除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度(對於直流信號是除以N);該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值，範圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要採樣長度為1/x秒的信號，並做FFT。要提高頻率解析度，就需要增加採樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是採樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄：本測試數據使用的matlab程序]

close all; %先關閉所有圖片

Adc=2; %直流分量幅度

A1=3; %頻率F1信號的幅度

A2=1.5; %頻率F2信號的幅度

F1=50; %信號1頻率(Hz)

F2=75; %信號2頻率(Hz)

Fs=256; %採樣頻率(Hz)

P1=-30; %信號1相位(度)

P2=90; %信號相位(度)

N=256; %採樣點數

t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採樣時刻

%信號

S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);

%顯示原始信號

plot(S);

title('原始信號');

figure;

Y = fft(S,N); %做FFT變換

Ayy = (abs(Y)); %取模

plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結果

title('FFT 模值');

figure;

Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實際的幅度

Ayy(1)=Ayy(1)/2;

F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值

plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算後的FFT模值結果

title('幅度-頻率曲線圖');

figure;

Pyy=[1:N/2];

for i=1:N/2

Pyy(i)=phase(Y(i)); %計算相位

Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度

end;

plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖

title('相位-頻率曲線圖');

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