傅立葉變換

過冷水最近這個段時間給大家講了好幾期傅立葉級數展開，本期作為收尾工作，將會清楚明白的告訴大家傅立葉變換是怎麼回事。

傅立葉級數實際實際是對周期函數和半周期函數的按基地函數去1、cosx、cos2x、...cosnx、sinx、sin2x、sinnx的展開式。如果定義在（-∞，∞）區間的非周期函數還能進行傅立葉展開嗎？傅立葉計算擴展到連續變換的情況後就是傅立葉積分。

已知周期為2π的函數用傅立葉展開式形式如下：

則周期為2L的函數用傅立葉展開為：

對微分變換過程有疑問的可以查看過冷水往期推文積分變量替換到legendre微分變換。如果L→∞，則該函數就不在具有周期性，而且區間變成（-∞，∞）。我們一起來看傅立葉級數展開式會發生哪些變化：

則：

則f(x)變為：

該函數表達式就是函數f(x)的傅立葉積分表達式。物理上通常認為f(x)代表一個「信號」係數A(w)和B(w)是信號f(x)的頻譜分布函數，由信號得到頻譜的過程叫做傅立葉分析。

給個實例來演示一下傅立葉積分變換：

Matlab計算代碼:

syms wX=linspace(-10,10,300);for i=1:length(X);    x=X(i);    f=(2.*cos(w.*pi/2)*cos(w.*x))./(pi.*(1-w.^2));    F(i)=vpa(int(f,w,0,100));endfigure1 = figure;axes1 = axes('Parent',figure1);hold(axes1,'on');plot(X,F,'LineWidth',2);xlabel('$x$','Interpreter','latex');ylabel('$f(x)$','Interpreter','latex');box(axes1,'on');ylim(axes1,[-0.02 1.2]);set(axes1,'FontSize',16,'LineWidth',2);
Matlab計算代碼:
syms wX=linspace(-10,10,100);for i=1:length(X);    x=X(i);    f=(2.*cos(w.*pi/2)*cos(w.*x))./(pi.*(1-w.^2));    F(i)=vpa(int(f,w,0,100));endfigure1 = figure;axes1 = axes('Parent',figure1);hold(axes1,'on');plot(X,F,'LineWidth',2);xlabel('$x$','Interpreter','latex');ylabel('$f(x)$','Interpreter','latex');box(axes1,'on');ylim(axes1,[-0.02 1.2]);set(axes1,'FontSize',16,'LineWidth',2);
    傅立葉積分是很接近傅立葉變換的形式，將頻譜w∈[0,∞]變成w∈[-∞,∞]，我們來看一下怎樣將一個函數進行傅立葉變換。
函數的傅立葉積分形式：
令：
F(w)稱為f(x)的傅立葉變換，f(x)稱為F(w)的反傅立葉變換。本期的分享就這麼多，經過連續幾期的講解過冷水終於把傅立葉變換以自己覺得能理解消化的方式給大家分享出來了，讀者若是有不懂的地方可以推文後留言或後臺留言，一起探討，過冷水衷心希望分享的知識大家能夠有用。
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