著名的傅立葉變換圖

2021-02-24 數學中國

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　　上期我們談論了三角函數，但是說三角函數怎麼好意思不提那套著名的傅立葉變換圖呢?

　　所以：

　　變身吧傅立葉

　　不，不是變成夜禮服。

　　

　　和某些公然嘲笑應用的數學家不同，傅立葉特別重視應用領域，而他的傅立葉變換也不負眾望成了工程和物理領域裡最重要的數學公式之一。

　　這裡展示的傅立葉變換(的三角函數形式)的基本原理是，多個正餘弦波疊加(藍色)可以用來近似任何一個原始的周期函數(紅色)。這樣近似的效果有點像稱量的砝碼：不管你原物的質量多奇怪，我總能化歸成「5個1斤砝碼、3個1兩砝碼」這樣幾個基本單位之和。上圖末尾處藍色的豎線就可以想像成「我用了5個1號波、3個2號波」等等。這在計算上多省事兒、處理上多方便就不用說了……

　　

　　

　　幾個傅立葉分解實例，用波疊加出分段函數。圖片作者：LucasVB

　　當然傅立葉分解的好處和用法遠不止這些，但那就是一本書的篇幅了。打住。

　　如果你還記得酷炫動圖(三)中討論過的圓和三角函數之間的密切聯繫，那你也能看懂下面這張圖：

　　

　　

　　大地上的河流

　　Hello?走錯片場了吧?標題寫的是數學啊?

　　沒有錯，這是數學裡諸多腦洞大開的定理之一：平原上的河流，從源頭到出海口的幹流總長度(藍線)和源頭到出海口之間的直線距離(紅線)的比值，平均而言比3大一點兒。更準確地說，這個比值應當趨近於π。

　　圖中所示是秘魯艾爾·西拉保護區裡的一條河流，雖然因為地形和時間尺度原因，其比值更接近於2.5，不過意思大家已經看到了。

　　但是這真的是數學!因為河流的自組織過程很容易形成分形。

　　一條完美的筆直河流是平衡的，但這是不穩定的平衡。現實中的河流總會因為各種原因而有所彎曲，一旦河道打彎，彎道內側和外側的水流速度就會出現差異，外側遭到衝刷，而內側則發生沉積。久而久之彎曲會越來越大，最終河道裁彎取直形成牛軛湖，開始新的循環。

　　而1996年《科學》上的一篇論文認為，對於平原上的河流，這一過程的臨界態是可以用分形來描述的。下面兩張圖是作者漢斯-亨裡克·斯託羅姆(Hans-Henrik Stolum)用純粹的數學公式推演出來的河流演化，可以和上圖對比一下。

　　

　　無限的黃金(率)

　　

　　這個φ不是別的，就是黃金分割率那個1.618了。當然如果你喜歡0.618，把前面的1去掉就是。

　　常用的黃金分割表達方式是

，但是有一個有趣的連分數表達式，就是上面那張停不下來的動圖。

　　當然實際中我們沒法無窮地這麼除下去……用這個連分數迭代來近似黃金比例的話，誤差程度是：

　　

　　還不錯嘛。

　　為什麼這個連分數無限迭代下去可以用來算黃金率?注意它的格式：x = 1 + 1/x

　　而黃金率的定義你還記得嗎?在下圖中，如果 (a + b)/a = a/b ，那麼這個比值就是黃金律。

　　

　　如果我們令 a/b = φ，那麼上式就立刻化簡成了

　　

　　如果你學過相關的迭代法求近似解理論，現在應該已經在頷首微笑了。如果沒有，那麼想著「這兩個式子形式完全一樣肯定有什麼關聯」就好……

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