非周期信號的傅立葉變換

2020-12-01 電子產品世界

前面已討論了周期非正弦信號的傅立葉級數展開，下面來分析非周期信號的傅立葉變換。當周期信號的重複周期T無限增大時，周期信號就轉化為非周期信號（單個不重複信號），如對於周期矩形脈衝波，當周期T趨於無窮大時，周期信號就轉化為單個非周期脈衝。從例6-1-2的結果可知，此時信號頻譜間隔趨於零，即譜線從離散轉向連續，而其振幅值則趨於零，信號中各分量都變為無窮小。儘管各頻率分量從絕對值來看都趨於無窮小，但其相對大小卻是不相同的。為區別這種相對大小，在周期T趨於無窮大時，求的極限，並定義此極限值為非周期函數的頻譜函數，即：

當時，，轉化為，即離散的頻譜轉為連續頻譜，上式可改為：

（6-4-1）

對於一個非周期信號，可由上式求出其頻譜函數，同理若已知非周期信號頻譜函數，則也可求出其時域表達式。其計算式為：

（6-4-2）

式（6-4-1）與式（6-4-2）是一對傅立葉積分變換式，式6-4-1把時域信號轉換為頻域的頻譜函數信號，稱為傅立葉正變換。而式6-4-2是把頻域信號變換為時域信號，稱為傅立葉逆變換。進行傅立葉變換的函數需滿足狄裡赫裡條件和絕對可積條件。

例6-4-1 求圖6-4-1a所示的單個矩形波的頻譜函數，並作振幅頻譜與相位頻譜圖。

圖 6-4-1

解：單個矩形波的頻譜函數為：

它的幅度頻譜與相位頻譜如圖6-4-1b、c所示。

從振幅頻譜圖上可見，矩形脈衝信號所包含的頻率分量隨頻率增大而很快減小，信號主要成份集中於之間，即頻率寬度為。如果脈衝寬度變窄，即值變小，則信號主要頻率分量所佔的頻率範圍就變大。反之當脈衝變寬，值變大，則其主要頻率分量範圍就變小。對於一個較窄的脈衝信號，如果電路要使它通過，則電路的特性必須能使較大頻率範圍的所有信號都能通過。傅立葉變換在信號分析與處理中有重要意義。

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