傅立葉變換是很多理工科同學本科階段會接觸的基本概念，但也是比較令人困惑的概念之一。
因為，傅立葉變換的定義非常唬人：
傅立葉變換定義式
唬人是啥意思呢？
「唬」其實是多音字，不僅讀hu，還尼瑪能讀xia（也不知這是誰定的）：
唬（hu）的意思是「虛張聲勢、誇大事實」，也就是說，這事兒，本來很簡單，出於某種原因，給弄複雜了。
這個公式，就在唬（hu）人。
什麼是三角級數我在之前一篇文章「泰勒為何展開」介紹了「泰勒級數」。
「泰勒級數」是一種「冪級數」，就是把一個函數，「拆解成一堆」關於x的加減乘除運算：
（後一個省略號一般寫成餘項Rn，這裡用省略號更直觀）
現在，如果我們不是採用「x^n」這種「基本元素」，而是使用正弦函數cos(nx)形式的「基本元素」，則，我們可以嘗試寫成如下形式：
這就是「三角級數」。
（此時e^x應限定周期並進行周期延拓，因為三角級數只能表示周期函數）
問題來了，係數A1、A2...An是啥呢？
傅立葉說，我有祖傳配方，可算係數。
於是就有了「傅立葉級數」。
具體公式和計算方法一般的課本都有，在此不予討論。
傅立葉級數根據上面的原理，我們可以將一些函數展開成「傅立葉級數」，比如，可以在一個周期內，將x^2展開：
x^2的傅立葉級數展開
注意，和泰勒展開類似，這裡也是「完美的等於「，不是「約等於」。
三角級數的優勢正弦函數sinx（或cosx）的微分依然是正弦函數：
積分也依然是正弦函數：
在信號分析時，這個特點會帶來很大的優勢。
因為，微分和積分運算，只改變了正弦信號的「相位角」，而不改變其類型及幅值。
這樣，我們可以將非正弦信號「拆解成」一堆正弦信號，分析起來更方便。
當然，這只是優勢之一。更多優勢，歡迎大家探索。
傅立葉變換剛才提到的傅立葉級數，其實有一個前提，就是要求信號是周期的，或者，它在一個周期內是有限長度的，我們再進行周期延拓（複製粘貼到其它周期），這是由於正弦函數這個「元素」本身的周期性造成的。
如果信號是無限長且「非周期」，那麼，我們就要用到傅立葉變換了。
實際上，傅立葉變換就是「頻率上極其緻密」的正弦波的疊加。
聽起來怎麼又他娘的如此抽象，我們回到剛才x^2的例子：
x^2的傅立葉級數展開
注意，cos1x和cos2x直到cosnx，在求和中有「貢獻」。
但是，你有沒有發現，cos1.1x或cos1.11x或cos2.22x等等正弦波，都沒有參與求和，對結果「沒有貢獻」。
當我們想用正弦波來表示「非周期」的函數時，就要付出代價：
這些正弦波不僅無窮多，而且，頻率n將不再是離散的整數，而是「連續」的實數，我們將它記作ω。
ω就是正弦波的頻率，它實質上就是cos(ωt + φ)這樣「一大堆」正弦波中的頻率ω，此時，求和就演變成積分。
jωt的由來當我們計算cos(ωt + φ)形式的積分時，運算比較複雜，於是，我們用歐拉公式轉換一下：
於是，積分號內就出現了如下的指數形式：
用指數形式進行計算，相位角可以直接在角標上進行加減，非常方便。
至此，就很好理解這令人困惑的，
傅立葉變換。
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