乾貨 | 什麼是「全概率公式」?

在貝葉斯分析的文章中，提到了全概率公式，那麼什麼是全概率公式呢？接下來我們對「全概率公式」進行介紹。

定義：

如果事件A1、A2、A3…An構成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集；並且P(Ai)大於0，則對任何一個事件B有：

同時還可以通過圖形來理解這個公式，假設完備事件組為一個矩形的總面積，A1、A2、A3…An為各個部分面積，它們的面積之和構成一個完備事件組；所有紫色區域面積為事件B，那麼事件B的概率即可通過在A1、A2、A3…An發生情況下，進行相應概率乘積再求和即全概率公式進行求得。

 

特別地，對於任意兩隨機事件A和B，有如下成立：

 

下面通過兩個例子來了解一下全概率公式的運用：

例一：

某國有三個省份，A省,B省，C省，其面積分別佔此國面積的20%，30%，50%。A省內森林面積覆蓋A省區域30%，B省內森林面積覆蓋B省區域35%，C省內森林面積覆蓋C省區域20%。這個國家森林總面積是多少佔比？

在這個例子中，A省面積，B省面積，C省面積構成了完備事件組。

假設A1= A省面積，即P(A1) = 20%;

A2= B省面積，即P(A2) = 30%;

A3 = C省面積，即P(A3) = 50%.

B = 這個國家的森林總面積

根據以上信息得到: P(B|A1) = 30%,P(B|A2) = 35%，P(B|A3) = 20%。

P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) = 30%  20% + 35%  30% + 20% 50% = 26.5%

因此這個國家森林總面積佔比26.5%。

 

例二：

一項調查表明，男性患色盲的概率是5%，女性患色盲的概率是0.25%。在一次調查過程中男性人數佔比60%，女性人數佔比40%，隨機抽取一人，這個人患色盲的概率是多少？

在這個例子中，男性人數佔比與女性人數佔比構成了完備事件組。

 

全概率公式為概率論中的重要公式，它對一個複雜事件B的概率求解問題可以轉化為在不同情況下發生的簡單事件概率的求和問題。