本文作者劉瑞祥，[遇見數學] 感謝劉老師投稿支持！
三，往往意味著多，比如「森」「眾」都是三個同樣部分組成的，代表樹多、人多。不同於簡單的 1 和 2，從 3 開始，很多事情就開始複雜了。本文只聊和 3 有關的數學。
一、沒完沒了的三角形
據說成書於公元前 3 世紀的《幾何原本》第一卷的命題 1 就是關於三角形的——以已知線段為邊長作正三角形。這個命題雖然簡單，但實際上證明過程並不完備，因為其中少了連續性公理——你怎麼知道圖中的兩個圓一定相交呢？
這本經典著作還包含了關於三角形的大量內容，比如三角形的全等和相似判斷命題、三角形內角和、勾股定理等等。而令人驚異的是，直到 20 世紀，還出現了新的關於三角形的定理，這就是莫萊定理：對任意三角形，其內角的三等分線交點構成等邊三角形。在《幾何明珠》（國家行政學院出版社 2014 年版）一書裡，作者黃家禮提到了這個定理的推廣，其中一部分內容是我國數學家張景中利用計算機發現的。
小小的三角形，能讓人研究兩千多年，到底是簡單，還是複雜呢？
二、阿波羅尼奧斯問題
古希臘有一位重要的數學家，名字叫阿波羅尼奧斯，是研究圓錐曲線的集大成者。他提出過這樣一個問題：任給三個點或者直線、圓，求作過已知點並和直線、圓相切的圓。根據所給條件的不同，這一問題可以分成十個具體問題，而每種問題裡又根據所給元素位置的不同，分為若干小問題。這雖然是已經解決了的問題，但至今還是很吸引人，你能研究出其中哪幾種情況？
▲ 左圖為點點圓問題（CPP），右圖為圓圓圓問題（CCC）的一個解
阿波羅尼奧斯問題提示我們，要想確定一個圓，一般應該給定三個獨立條件，把原來的問題換一下已知條件，比如求作指定半徑的圓且要求與給定的直線、圓相切，是不是容易很多？
三、三維空間
我們生活的這個空間就是所謂三維空間。我記憶中霍金的學生吳忠超曾經證明在某些條件下空間一定是三維的，但是現在這個內容卻搜不到了，不知道是否記憶出了問題。下面我來談幾個我能說明白的問題吧。
所謂吳忠超的證明，其含義應該是證明我們的宇宙必須是三維空間，不能是其它維度，而《關於託勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》（伽利略著，上海外國自然科學哲學著作編譯組譯，上海人民出版社 1974 年版）中，先是通過辛普利邱之口介紹了亞里斯多德的論述方法： 不能比三度空間再多，因為「三」就是一切，是到處都有的。而且這一點不是也為畢達哥拉斯學派的學說和權威所證實了嗎，因為這一派人說，一切事物都決定於三——即開端、中間、末尾——所以三是完整的數？還有，你為什麼撇開亞里斯多德的另一個理由不談，即「三」這個數，就好像是由自然規律規定的那樣，祭神時也用三牲？……因為只要立體是由三決定的，這就「全」備了；它能夠從三個方面分開，也就能用一切可能的方式分開……
不知道讀者看到上面這段論述會有什麼感覺，反正我是覺得相當可笑。而書裡伽利略的代言人薩爾維阿蒂的回答是： 所有這些理由都說服不了我……我覺得沒有必要承認三是個完善的數……
薩爾維阿蒂驗證空間是三維的方法和現代人是差不多的，即只能做出三條互相垂直的直線段。就這樣，亞里斯多德的理論出現了一個小口子，而後文還會更多。
我們再看看推導稜錐體積公式的過程。這個過程大致是這樣的：先是把高和底邊相等的正三稜柱分解成三個全等的三稜錐，然後利用祖𣈶原理把得到的結果推廣到一般的稜錐上。這裡關鍵是第二步，因為祖𣈶原理歸根結底是一種無限過程。而如果我們看《幾何原本》就會發現，古希臘人也是用無限過程來研究稜錐體積的，這是為什麼呢？你想不明白沒關係，因為高斯也想不明白，至少在這個問題上你和高斯是同樣級別的。這個問題最後是被希爾伯特的學生研究清楚的。
和三維空間有關的還有萬有引力和庫侖力公式。我們注意到，這兩個公式都是所謂「平方反比率」，即它們都和距離的平方成反比。這說明了萬有引力和靜電力都是「有源力」，也就是說，這兩種力都是從質點或者點電荷發出的。而電磁學中的高斯公式說，你隨便畫一個閉合曲面，靜電場通過這個面的電力線和曲面內部靜電荷的代數和成正比。這是平方反比律的直接推論。平方反比率在物理上很重要，關係到行星軌道是否穩定、真空中的光速是不是不變等問題。
四、關於三的其它問題
大家應該聽說過關於三次方程解法的歷史了吧。據說，複數的發明就是為了對付三次方程的，因為二次方程遇到複數結果可以捨去，而三次方程儘管中間過程需要複數，但最後的結果卻可能都是實數。那麼，在你已經知道存在三次方程求根公式、甚至腦子裡還有點模糊印象的基礎上，你能自己推導出三次方程求根公式嗎？又或者，在你理解了三次方程的基礎上，能不能證明尺規三等分任意角不可能呢？
▲ 初始位置在斜三角形頂點，且初始速度均為零的三個相同物體的近似軌跡。按照動量守恆定律，質心仍然存在。(圖自維基)
再說說所謂的三體問題：如果有三個互相吸引的天體，能否給出一般情況下的解析解？可以證明這是不可能的。但是所謂「不可能」，是什麼意思？這對我們的星系有什麼影響？在量子力學裡，同樣有三體問題，比如氦原子裡 兩個電子和氦核，成為三體問題，無法得到解析解。印象中我大學時用的是「微擾法」，即把其中一個電子對另外一個電子的作用看作是微小的擾動，以此近似求解。但是我畢業多年，大學知識早就還給了老師，現在肯定是看不懂當時的課本了。 前不久，著名數學家李天巖去世了，很多數學公眾號紛紛悼念。李先生的最重要的論文，即是《周期三意味著混沌》。這是「三」走向複雜性的另一例。