形象直觀的「偏導數」和「梯度」原理

2020-12-04 電子通信和數學

偏導數和梯度是數學中的重要概念，貫穿於許多自然學科，本篇就用形象的圖形來解釋它們的原理

圖中是有X Y 變量 和有X Y變量組成的函數Z=f（X,Y）圖形

我們保持X值不變，僅改變Y值得情況下如圖

Z值僅隨Y值在變化，所以Z的變化量除以Y的變換量就是該線的斜率

將X換個固定值，同樣Z的變化量除以Y的變換量就是該線的斜率，只是斜率的大小不一樣

Z的增量除以Y的增量，我們稱之為Z對Y的偏導數

同理，我們保持Y值不變，Z值僅隨X值改變，Z的增量除以X的增量，我們稱之為Z對X的偏導數

我們用一個箭頭來表示斜率的正負，箭頭表示斜率的大小

斜率不同箭頭方向不同

每個點都有一個箭頭來表示Z對X的偏導數

同樣，每個點都有一個箭頭來表示Z對Y的偏導數

我們將這兩個箭頭向量相加，就得到一個新向量，稱之為Z的梯度

Z的梯度向量總是指向Z函數增長最大的地方

所以可以得出梯度是Z=f（X,Y）某一點的含有方向的導數，這個方向導數乘以該點的單位向量，就得到一個準確數值，這個數值就是該點在這個方向上的變換率。

偏導數和梯度是數學和許多物理學科非常重要的概念。

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