方向導數和梯度是什麼?

為什麼梯度的方向是函數在該點的方向導數最大的方向，梯度的模是最大方向導數的值？大家在看複習全書時，有認真想過這個問題嗎？小編在本文以二元函數為例詳細講解方向導數和梯度，並試圖以儘可能通俗地語言回答上述問題。

1.梯度

首先看看二元函數梯度的定義：

如果函數f(x,y)在定義域D內具有一階連續偏導數，則對於定義域內D每一點P(x0, y0)，都存在如下向量：

則稱上述向量為函數f(x,y)在點P的梯度，記作：

而下面的算子稱為向量微分算子或哈密頓算子（nabla算子）：

至於為什麼在梯度定義中，要附加強要求，即函數f(x, y)在定義域內具有一階連續偏導數，說實話，小編也沒搞清楚。有人說具有一階連續偏導，則必然可微，然後可以將梯度和方向導數聯繫起來，這說法有一定道理，但是可微與一階連續偏導並不是等價的。儘管學習時有些知識點不甚理解，但是切記一定要以定義為準，科學家之所以這麼定義，必然有其實際和理論上的考慮。

接下來，仔細看看梯度。函數f(x,y)在點P的梯度是向量，向量是有大小和方向的，那函數在P點梯度的方向和大小是？

這就涉及到向量的加法了，請看下圖。下圖標紅色的部分用向量l表示，向量l的方向就是梯度的方向，向量l的模就是梯度的大小。

圖1. 梯度示意圖

2.方向導數

在討論方向導數前，大家還記得導數、偏導數的幾何意義嗎？在一元函數中，某一點的導數就是曲線在該點的切線的斜率，也就是反映函數在該點的變化率。在二元函數中，偏導數反映的是函數沿x軸方向或y軸方向的變化率。而方向導數描述的是函數沿某一方向的變化率，在二元函數中，除了坐標軸兩個方向外，還存在其它無數個方向，因此，方向導數用於研究函數沿各個不同方向時函數的變化率。

同偏導數定義類似，請看看下面這種方向導數的定義：

結合下面這道例題來幫助大家理解方向導數的定義：

首先要確定直線l的方向，看下圖：

圖2. 方向導數中直線l的方向示意圖

在圖2中α、β分別為直線l與x軸正方向、y軸正方向的夾角。α、β共同表示直線l的方向。由圖2，不難得出如下關係式：

現在假設在直線l上的點P，沿著直線l正方向即箭頭方向前進一個單位長度1，對應於在橫軸上移動cosα，在縱軸上移動cosβ。也就是說，當從p點沿直線正方向移動距離t時，二元函數自變量x變動tcosα，自變量y變動tcosβ，此時方向導數定義將變為如下形式：

按照上述定義，將函數z的相關數據帶入進去，得：

現在看看方向導數與偏導數的關係。若函數f(x, y)在點P(x0, y0)可微，有：

至於如何證明上式，只要大家結合前面兩個關於方向導數的定義，不難證明，你試試吧！

3.方向導數與梯度的關係

為方便理解，不妨把方向導數與梯度的條件和關係式放到：

方向導數是標量，只有大小，沒有方向。當函數f(x, y)在點P(x0, y0)可微時，存在如下關係式：

梯度是矢量，既有大小，又有方向，且梯度前提是函數f(x, y)具有連續一階可偏導：

從方向導數和梯度的定義看，給定曲線上一點，梯度也隨之確定，但是方向導數還沒確定，所以可以從方向導數推向梯度。

可能你認為當cosα=cosβ=1，方向導數最大，但是你忽略了可行性的問題，因為沒有哪條直線能夠既與x軸重合，由於y軸重合。事實上α與β存在如下關係：

將上式帶入方向導數定義中，可得：

從上式，可以輕鬆得到如下結論：

方向導數最大的方向，為梯度方向，最大方向導數是梯度的模。方向導數最小的方向，為梯度方向的反方向，最小方向導數是梯度的模的相反數。