今天我們來說一說方向導數的定義。
首先來看高數課本關於方向導數的定義：
然後下面這是百度百科的：
數學分析教材：
維基百科：
仔細看一下上面的定義，你會發現其中的不同，可以分為兩派——高數和百度是一派，數分和維基是一派。
分析一下可知高數和百度上的定義可知求方向導數時，由曲面上一點朝著一個方向引一條與曲面相切的射線，而數分和維基的定義，則曲面上一點朝著一個方向引一條與曲面相切的直線。類比一下一元函數，數分和維基對方向導數的定義就相當於一元函數對導數的定義，
高數和百度對方向導數的定義就相當於一元函數對單側導數的定義。
接下來我們來說一個問題：如果一個曲面上的一點的所有方向導數都存在，那麼這點處的偏導數是否存在？
如果我們按照數分和維基上對方向導數的定義，那麼其偏導數就是就是那一點沿x軸y軸正方向的方向導數，既然方向導數都存在那偏導數一定存在。
如果我們按照高數和百度上對方向導數的定義，那麼只有當沿x軸正向的方向導數和沿x軸負向的方向導數互為相反數時，此點處對x的偏導數才存在，對y也同理。
現在你應該完全明白上面對方向導數定義的不同了吧。
另外，我們需要記住和深刻理解這一點——方向導數的意義：描述函數f(x,y)在某一點處，沿各方面的變化率。明白了這一點才能理解作業冊中的題目。
小編認為高數上對方向導數的定義要更好一些，在我們研究一些問題時，例如圓錐的頂點處沿各個方向的變化率時，按照數分上對方向導數的定義是無法計算的，必須再加入其他定義，而按照高數上的定義是可以解決的。PS：當然我們考試的時候還是按照自己所學的高數課本來。