如何把多元函數微分學應用到空間曲線與曲面上?

三維坐標系下可以展現出曲線與曲面。那麼，它們的切線或切平面，法平面或法線怎麼求呢？

本篇文章講述如何用多元函數微分學的知識來求這些線或面。對多元微分學知識不了解的同學可以看一下小編之前的文章。

內容分為兩部分：空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線。

註：以下出現的M（x0,y0,z0）點為求線或面的一已知點。

空間曲線的切線與法平面

一：參數形式

切向量：

切線方程：

法平面方程：

二：一般形式

切向量：

切線方程：

法平面方程：

在一般形式下，行列式求解是最方便的。當然，如果不想記的話，可以對兩個方程對x求導，求得y對x的導數和z對x的導數。然後向量就是（1，dy/dx，dz/dx）。

曲面的切平面與法線

曲面方程給的話，要麼是顯式形式，要麼是隱式形式。

先以隱式為例：

法向量：

切平面方程：

法線方程：

對於顯式方程的話，可以把它化成隱式的來求：也就是把z移到另外一端去。

法向量：

切平面：

法線：

小結：這一節說白了，就是對曲線求切向量，求得切向量之後就可以列出切線方程和法平面方程。

對於曲面就是求法向量，法向量知道了，就可以列出切平面方程和法線方程了。

另外這部分題的話，有時需要在空間中想像一下是個什麼情況，要求的是什麼，不能一上來就套公式來做。當然，公式也是需要來記憶的。

最後送給大家一句話：哪怕是最沒有希望的事情，只要有一個勇敢者去堅持做，到最後就會擁有希望。