量子計算在重要金融產品定價問題的應用演示

FUTURE | 遠見 唐豪 文

量子計算在許多領域都具有落地應用的充分前景，其中金融業涉及各種數值分析任務，需要大量的量化分析工作，通過量子計算提高計算速度和精度，將帶來可觀的社會價值。近期arXiv預印本上一個新工作（Quantum Computation for Pricing Collateral Debt Obligations），通過量子計算方法實現一種重要的結構性金融產品（CDO）定價，編者聯繫原作，在本文對該工作和其展示的量子金融應用前景進行介紹。

金融分析是未來量子計算的一個重要應用領域，並且在近年來陸續出現相關研究。金融業涉及到各種數值和分析任務，例如衍生產品定價，信用評級，外彙算法交易，投資組合優化等，都需要大量的定量分析工作，而其提高的計算速度和精度將帶來巨大的社會價值。而這正是量子計算的目標。十幾年前時，量子物理學家試著運用量子力學方程式改進金融模型，例如使用薛丁格方程和費曼路徑積分法來求解利率衍生產品的隨機微分方程，並且將海森堡不確定性原理用於解釋股價波動。近年來的研究則是是把量子計算作為一個利用量子優勢實現的更快的計算工具，在量子電路中實現各種加速算法，例如量子幅度估計（QAE），量子主成分分析（PCA），量子生成對抗網絡（QGAN），量子經典混合變分量子本徵求解器（VQE）算法，量子近似優化算法（QAOA）等算法不斷湧現，並已有部分應用於金融分析任務。

在量化金融的所有領域中，蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬始終發揮著重要作用，因為只有少數金融衍生產品的隨機微分方程具有解析解，而大多數只能通過在不確定性分布（例如正態或對數正態分布）中重複多次隨機設置來數值求解，因此金融產品定價會耗費時間。量子幅度估計（QAE）算法於2002年提出，在2018年被指出可以有效代替蒙特卡羅方法，應用於金融分析並實現平方加速，目前已在期權定價和信用風險分析中實現初步應用演示。

圖一：金融產品分類示意圖

考慮到蒙特卡羅模擬的廣泛性和定價模型的多樣性，量子技術在金融領域的介入仍處於起步階段。如圖一所示，金融產品主要包括股票（Equity）、固定收益（Fixed Income, 又稱為債券Bonds）以及衍生品（Derivatives）三類。其中衍生品包括期權（Options）、期貨（Future）、互換（Swap）等多種工具，以及資產擔保證券（Asset-based security，ABS）等更複雜的結構性產品。衍生品既可以基於股票（Equity Derivative），也可以基於固定收益（Fixed Income Derivative)，其中後者更加廣泛。各種金融產品為金融工程提供了豐富多樣的量化工具。

抵押債務憑證（Collateral Debt Obligations，或Collateralized Debt Obligations，簡稱CDO）就是資產擔保證券ABS的一種，是重要的結構性金融衍生產品。CDO可以算作基於固定收益的衍生品，因為它的資產池包括各種債務工具，按信用評級從高到低可包括長中短期國家債券（Sovereign Bond）、公司債券（Corporate Bonds），高收益新興市場（Emerging Market）公司債券等等。在這樣的資產池投資組合裡，每個資產都有各自的違約概率，並且相互之間存在違約的相關性。CDO則是將該投資組合通常打包分為三個CDO批次（CDO Tranche），如圖二所示，包括股票批次（雖然名字叫股票，其實通常由信用評級低、甚至沒有信用評級的債券組成），夾層批次（通常由A或A +級證券組成）和高級批次（通常由信用評級最高的AAA級債券組成）。當池中任何資產發生違約時，CDO規定由股票批次投資者首先承擔損失，如果損失大於第一個臨界點（Attachment Point），則多出的部分由夾層批次投資者承擔。只有當損失大於第二個臨界點時，高級批次投資者才會虧損。高級批次投資者具有最佳的風險防護，還具有接受本金和利息支付的優先級。根據金融風險和回報的一致性，高級批次投資者獲得最低利率回報，而股票批次投資者在承擔最多風險的同時獲得最高收益。

圖二：CDO包括股票批次（Equity Tranche），夾層批次（Mezzanine Tranche）和高級批次（Senior Tranche），各批次承擔損失的順序不同。

CDO可以有效地保護高級批次免於損失。CDO是一種有用的信貸工具，可以以非常定量的方式計算和重新分配信貸風險，目前金融行業具有信用風險管理的強烈需求，因此CDO在量化金融中得到廣泛研究並不斷完善。到本工作報導之前，還從未有量子算法在CDO等複雜結構性金融工具的應用報導。

CDO定價模型

CDO的定價，指的就是計算出每個批次可能承擔損失的期望值，除以這個批次的資產價值，得到這個批次面臨的損失率，那麼該批次應當支付投資人相當的收益率實現風險和收益的平衡。

CDO每個批次承擔損失與總損失的關係函數類似於期權定價中的收益函數（pay-off function）。看漲期權的價值在特定臨界點後隨著資產價值的提升以1為斜率線性增長，期權價值為正（in the money）。CDO批次損失同樣在特定臨界範圍內隨總損失線性增長。這種和特定臨界點進行比較的操作都可以在量子線路的比較器模塊中實現，將在後文中提及。

資產池的總損失取決於每個資產的違約情況。資產價格遵循一個不確定性分布隨機上下浮動，當價格低於某閾值時認為該資產違約。這個不確定性分布模型中以高斯分布最常見。但現實世界中，價格分布往往還存在偏度和峰度。正態逆高斯（Normal Inverse Gaussian, 簡稱NIG）模型，則可以通過更多的參數調控，實現靈活的偏度和峰度，能更好地解釋高斯分布不能解釋的CDO市場「相關性微笑」（Correlation Smile）等現象。如圖三所示，圖ab分別是用四個量子比特導入的高斯分布，以及符合某個真實CDO市場數據的正態逆高斯分布。

圖三：用4個量子比特加載高斯分布或NIG分布示意圖。該NIG分布的偏度為1，峰度為6。

CDO定價需要重點注意的，是大量資產之間違約事件存在一定的相關性，數學上通常採用copula模型描述。不管單因素高斯copula， 還是NIG copula，都可以使用Vasicek提出的條件獨立方法（Conditional independence approach），將每個資產i之間的違約風險相關性轉化為與系統風險Z的相關性。此時受系統風險Z 影響下的資產違約概率為：

F代表Z的分布函數，在本文中是高斯分布或NIG分布。公式中包含的原始獨立違約概率，可以從其歷史表現中獲得；與Z的相關性參數則可以通過校準市場數據獲得的相關參數。

使用這種條件獨立性模型，預期總損失則是Z取特定分布中不同值的各資產違約產生損失之和的期望值。

CDO定價的量子線路構造I——加載相關聯的違約風險

要將量子計算應用於CDO定價，首先需要將投資組合中的資產風險以及相關性加載到量子電路中。量子線路框架如圖四所示。

圖四：CDO定價的量子線路框架。

（1）首先通過Lx加載違約風險互不相關的獨立的資產，使|1>態的概率就是資產 i 的獨立違約概率p_i。

（2）同時加載系統風險Z的高斯分布或NIG分布（圖中Load Z distribution模塊）。對於高斯分布，使用IBM Qiskit中自帶的Uncertainty Model和Conditional Independence Model程序。對於NIG分布，作者則上傳了相應程序，為Qiskit開源程序庫的豐富完善作了一定貢獻。

（3）然後通過Lz處理資產違約風險之間的相關性，旋轉使|1>態的概率變為受系統風險z影響的p_i(z)。p_i(z)與z和p_i的函數表達式上文已給出。運算符Lz的slope和offset與z和p_i關係的詳細推導可參閱論文的附錄II。Lz運算符使用n_z個量子比特，就可以將分布離散化到2 的n_z次方個槽中。例如，具有3個量子位，z的範圍在0到7之間，對應於高斯分布的正負三個方差區間。對於z=4=1*1+0*2+1*4-1，量子比特1和3會打開其相應的受控旋轉門，而量子比特2不會。通過這樣的仿射映射，z值對線性旋轉的影響被編碼在量子電路中。

（4）使用S進一步求和投資組合的總損失。即係數i乘以資產i 的給定違約損失並求和，如果資產i違約，則係數i為1，反之為0。係數i為1的概率正是Lz運算符輸出的p_i(z)。

CDO定價的量子線路構造II——計算批次損失

圖四的量子線路中還有最後一個重要的模塊，C&R，即包括了比較器運算符C和分段線性旋轉運算符R。

比較器運算符是完成金融產品定價任務的重要組成部分。在期權定價的量子計算中，它用於將資產價格與行使價格進行比較。這裡使用比較器運算符C，對上述運算符S輸出的損失總和值和每個批次的固定下臨界點進行比較。如果損失總和大於該批次下臨界點，C將會從|0>態翻轉到|1>態，否則保持|0>態不變。

與此同時，還有一個目標量子比特，它將在比較器比特的控制下旋轉其狀態。也就是說，通過比較器運算符C和分段線性旋轉運算符R實現如下轉換：

這樣一來，目標量子比特在|1>態的概率P1則包含了特定批次的預期損失E [L_tranche]的信息，具體推導可參考論文。只要得到P1，就能計算出批次損失，除以該批次的資產價值，就得到該批次投資人作為風險補償應得的收益，實現CDO定價。

那麼怎樣測得概率P1呢？我們知道對一個旋轉了任意角度的量子態進行測量，它會坍縮到一組選定的正交基矢。測量單一正交基矢的分量不能還原相位，測量的概率值對應是模平方，已經抹除了相位信息。採用量子態層析技術是可行的，但是需要準備多份樣本，並且需要多組基矢測量，多次測量破壞量子態來獲得相位。

量子幅度估計（Quantum Amplitude Estimation, QAE）算法，它的內核是量子相位估計（Quantum Phase Estimation），不需要破壞目標量子態就能有效獲得其相位、計算出P1。QAE的主要思想就是，採用m個輔助量子比特，則可以生成2的m次方個不同的值，就像切蛋糕一樣把π分成了2的m次方份。對m個量子比特進行測量，得到的二進位數轉換成十進位數y, 佔了y小塊蛋糕，那麼測量的角度約等於y除以2的m次方乘以π。如何將測量角度映射到m個輔助量子比特中，涉及到量子反傅立葉變換等操作，具體可以參閱論文。輔助量子比特數m決定估算的精度，一般大於3比較合適。

CDO定價的量子計算示例

以一個示例來說明CDO的定價。該CDO資產池包括四個資產。如左表所示，第二、三四列分別為資產的給定違約損失、獨立違約概率以及對系統風險敏感性。右表的第二第三列顯示了CDO批次的下臨界點和上臨界點。

對於此任務，需要n_k = 4個量子比特來表示Lx運算符中的四個資產。在Lz運算符中使用n_z = 4個量子比特產生2 ^ 4 = 16個槽位用於展示系統風險Z的不確定性分布，即前文中的圖三。使用條件獨立性模型，資產違約風險之間的相關性將轉換為系統風險Z的相關性。

在加權和運算符S中，考慮所有資產均違約時，此投資組合的最大累計損失為 7（小於2的3次方減1），因此使用n_s = 3個量子比特對總損失進行編碼。

量子電路使用Qiskit內置的分段線性旋轉函數，其中包括比較器C和分段線性旋轉器R。內置函數使用breakpoints數組記錄連接點，並使用slopes和offsets數組記錄斜率和偏移量。

圖五：股票、夾層和高級批次的損失與總損失的關係圖，每子圖小框中的三個數組分別表示breakpoints、slopes和offsets數組

進行完以上設置就可以使用QAE算法估P1，然後轉換求得每個批次的損失期望值。使用Qiskit的QASM模擬器，QAE中使用m = 4個輔助量子比特, 求得結果與經典蒙特卡洛結果進行比較。如圖六顯示Z為NIG分布時，兩種方法的結果非常吻合。另外當Z遵循高斯分布時結果也一致。如果增加輔助量子比特數m，估算的精度還可進一步提高。

圖六：計算所得股票、夾層和高級批次的損失。藍色柱和紅色虛線分別為量子計算和蒙特卡羅結果

用上圖所得的批次損失除以批次資產（即批次上下臨界點之差），就可以計算出股票，夾層和高級批次的批次收益。高級批次在現實中就是低回報的，首先是因為它是承受虧損的風險最小，其次因為高級批次的資產價值很大，往往佔總資產的80％以上。股票和夾層批次的回報率算出來偏高，現實中通常分別為15-25％、5-15％左右。一方面是這裡設的獨立違約概率比現實情形高，另一個原因是，這裡專注基本模型結構就沒有考慮資產的恢復率。恢復率通常設置為40％，這意味著當資產違約時，可以嘗試通過出售一些房地產等方式來恢復某些價值以補償投資者。最大損失將等於總名義值乘以（1-恢復率）。在此示例中，40％恢復率會使給定違約損失變為1.2、1.2、0.6和1.2，而批次臨界點保持不變，就會降低批次損失。

量子計算應用於金融問題的討論展望

CDO是相對先進和複雜的結構化金融產品，儘管在2008年金融危機期間存在一些爭議，但CDO仍然在量化金融中被廣泛研究並不斷完善。這項工作實現了相比高斯模型更具優勢的正態高斯逆模型。還有Variance Gamma等適於CDO定價的新型模型，以及期貨等更多衍生品的定價模型，它們和期權、CDO一樣，都可以用量子QAE算法代替蒙特卡羅方法實現。

圖七：列舉更多金融量化問題及可能的量子計算方法

除了衍生品定價問題，如上圖所示，金融領域還存在其他大量的量化分析場景，需要解決每天都在產生的海量金融數據分析問題。隨著量子機器學習的發展，一些量子版本的回歸、分類算法及量子神經網絡模型將在金融時間序列相關的各項應用場景中發揮作用。此外，適用於NISQ環境的變分量子算法，以及基於伊辛機模型的量子退火器，都可用於金融場景中廣泛存在的優化問題。總之，量子算法金融問題應用的更加廣闊無垠的可能，亟待人們去探索實踐。

論文第一作者為上海交通大學物理與天文學院助理研究員唐豪博士，通迅作者為唐豪博士和金賢敏教授。第一作者還對其在倫敦商學院進行固定收益及利率衍生品量化分析學習的授課教授予以致謝。

論文得到IBM Qiskit Finance部門負責人Stefan Woerner博士的關注，並共同商議將本工作示例在Qiskit社群的進一步分享。

論文連結：https://arxiv.org/abs/2008.041