同濟大學新能源汽車工程中心的研究人員左曙光、黃榮奎、馮朝陽、胡坤，在2019年第21期《電工技術學報》上撰文，在二維平面直角坐標系內建立電動振動臺的精確子域解析模型，求解區域劃分為勵磁線圈區域、驅動線圈區域和氣隙區域，並採用基於傅立葉理論的通用公式給出各子域的磁感應強度通解，通過各子域之間的邊界條件確定通解中的未知係數，從而實現電動振動臺的磁場解析。
以某一大型電動振動臺為例，將氣隙磁通密度解析計算結果與二維有限元結果相比較，驗證了解析模型的準確性。最後，在靜態磁場解析結果基礎上，考慮驅動線圈位移變化，利用電磁力求解公式計算得出驅動線圈隨位移變化的非線性分布的電磁力。通過分析得出，負載磁場對原勵磁磁場的影響使得氣隙中磁通密度分布的不均勻性加劇，從而導致驅動線圈在運動過程中受到非線性的電磁力。
各種零部件在工作過程中受到多種振動環境的影響，從而影響零部件的可靠性和使用壽命。為了更好地保證零部件的質量，在零部件研發過程中需要用振動設備來模擬現實的振動環境，進行環境試驗。作為目前市場上運用最廣泛的振動設備，電動振動臺的工作頻率範圍寬，約為0.002～20kHz，還具有動態範圍寬，易於實現自動和手動控制，產生很大的加速度等優點。
然而，電動振動臺內部是一個非線性系統，這些非線性因素會導致振動臺加速度輸出波形出現諧波失真的現象。因此，從電動振動臺的工作原理出發，研究其內部的電磁非線性來源具有重要的實際意義。
電動振動臺工作機理分析方法有三種：有限元法、試驗法以及解析法。目前，國內外學者的主要研究方法是有限元法和試驗法。
有學者建立了電動振動臺的電磁和結構有限元模型，仿真發現，氣隙中磁通密度分布具有不均勻性，但沒有進一步分析磁通密度不均勻性的來源以及它對振動臺電磁驅動力輸出的影響；有學者建立了電動振動臺動圈有限元模型，用來作為控制仿真的被控對象，並未對振動臺工作機理進行分析；有學者通過試驗法發現了電磁力和位移存在的非線性關係，並對電磁力因數採用高斯公式進行擬合，但都沒有對非線性電磁力的產生機理進行深入研究，且有限元法和試驗法具有工作量大，耗時長等缺點，關於電動振動臺的解析模型，鮮有學者研究。對於電磁場的解析方法，主要有三種：等效磁路法、磁勢乘磁導法以及利用泊松方程或者拉普拉斯方程求解的精確子域法。
等效磁路法和磁勢乘磁導法，需要對磁路進行等效處理，例如磁感線長度、磁阻等，這些等效雖然會給解析過程帶來很多簡化和方便，但是也造成解析結果不夠準確。精確子域法對於磁場解析問題求解精度高。
有學者對於特定邊界條件採用分離變量法對拉普拉斯方程或者泊松方程進行求解，這種方法求解結果準確，但是求解過程複雜，而且沒有統一的公式來解決同一類問題，缺乏靈活性和通用性。有學者提出一種基於傅立葉理論的通用公式法求解拉普拉斯方程或者泊松方程，該方法不僅求解精度高，並且具有普遍適用性。精確子域法目前普遍應用在電機電磁場的求解中，且求解的都是靜態磁場，該方法應用在電動振動臺模型中需要考慮振動臺實際磁路結構的非對稱性，以及上下直線運動過程中動態電磁力分布的非周期性及非線性。為了對電動振動臺電磁工作機理進行研究，本文首先採用解析法，建立了電動振動臺精確子域解析模型，利用基於傅立葉理論的通用公式法求解每個區域的拉普拉斯方程或者泊松方程，並利用有限元仿真結果對解析結果進行驗證。最後，通過考慮驅動線圈的位置變化，計算出隨驅動線圈位移改變而變化的非線性電磁力，且通過勵磁磁場和負載磁場間的相互作用規律對非線性電磁力產生機理進行分析。
圖1 電動振動臺結構結論
本文首先建立了電動振動臺解析模型，採用基於傅立葉理論的通用公式法對方程進行求解，進而將解析計算結果和有限元仿真結果進行對比，驗證了解析的準確性；並利用解析結果引入了驅動線圈位置變化，進一步計算得出隨位置變化的非線性電磁力分布規律，並對非線性電磁力的來源及產生機理進行了分析。
通過上述研究，可以得出以下結論：
1）建立電動振動臺精確子域解析模型，磁通密度解析計算結果和有限元結果較吻合，最大誤差不超過1.5%，證明本文建立的精確子域模型有效。2）基於傅立葉理論的通用公式法求解子區域的泊松方程或者拉普拉斯方程，該方法不僅具有求解方便的優點，且具有通用性和普遍適用性。3）在精確子域法的基礎上，考慮了驅動線圈位移變化，計算了隨位置變化的非線性電磁力及力係數。並分析得出，由於負載磁場對原勵磁磁場的影響加劇了氣隙中磁場分布的不均勻性，從而導致了電磁力呈現一定程度的非線性，且負載越大，電磁力非線性越強，在滿載工況下，力係數波動率高達15%，因此，由此引發的電磁力非線性必須引起足夠的關注。