CFD理論掃盲|02 矩陣與張量

2021-01-17 CFD之道

本文描述CFD理論中常用的矩陣、張量及其運算法則。

註：本文內容譯自《The finite volume method in computational fluid dynamics _ an advanced introduction with OpenFOAM® and Matlab》，F.Moukalled, L.Mangani, M.Darwish

1 矩陣

一個

因此，向量

如果兩個階次相同的矩陣對應的元素都相等，那麼這兩個矩陣相等。兩個相同階次的矩陣可以逐元素加減。例如，矩陣

則有

矩陣與標量的乘積得到的矩陣為原矩陣的所有元素與標量的乘積：

兩個矩陣的乘積較為複雜，其對矩陣的階次存在要求。若矩陣

如矩陣

則矩陣

2 方陣

若矩陣

方陣具有一些其它類型矩陣所不具有的特性，如對稱性和反對稱性。此外，許多運算（如取行列式和計算特徵值等）只對方陣有意義。一個N階方陣與自身相乘的結果仍然是一個N階方陣，因此一個方陣可以根據需要與自身進行多次乘積運算，標記

當方陣

下面的4階矩陣是一個反對稱矩陣。

對角方陣D是一個除主對角外其它所有元素都是零的矩陣。下面的矩陣是一個3階的對角方陣：

主對角線上的所有元素都是1的N階對角矩陣稱為N階單位矩陣，通常標記為

方陣

上三角矩陣

下三角矩陣

如下面兩個矩陣分別為上三角矩陣與下三角矩陣：

3 利用矩陣描述方程組

利用矩陣可以非常方便地描述方程組。一個有N個未知數N個方程的方程組可以寫成：

可以將其轉化為矩陣方程的形式：

寫成緊湊形式的矩陣方程為：

4 矩陣的行列式

行列式是一個與方陣

2階矩陣的行列式的計算很簡單，它是主對角線上元素的乘積減去交叉對角線上元素的乘積，可以表述為數學計算方式為：

對於高階矩陣，這個過程更加複雜，並且基於餘子式與代數餘子式的概念。

元素

一個方陣

很容易得到一個N階的上三角矩陣、下三角矩陣或對角矩陣

5 特徵向量與特徵值

當方陣

若矩陣

通常，一個N階方陣

根據定義，特徵向量非零，則有：

可將方程展開為：

求解此方程即可得到特徵值

6 正定矩陣

N階對稱矩陣

則稱矩陣

如矩陣

對於任意3階向量

因此，矩陣

如果矩陣

其具備以下一些特性：

若矩陣

若

8 張量與張量運算

張量可以被看作是已經在定義標量和向量等量時所使用的思想的擴展。標量是一個秩為0的張量，而向量是一個秩為1的張量。高秩張量的主要用途是處理和變換方程組。在CFD中只需要秩為2的張量。與速度向量

以

張量也可以使用以

上式允許定義第三種向量積，其用於將兩個向量相乘，稱為向量並積（dyadic product），其結果為一個張量，它的分量由兩個向量的有序對組成。具體地說，向量

向量

兩個張量

張量

張量

展開後可得到：

可進一步化簡為：

上面的方程可以寫成矩陣乘法的形式：

張量

張量

將上式展開並應用相應的計算規則，如：

最終結果為：

CFD理論中存在眾多的矩陣及張量計算，若有志於從事CFD理論研究的道友，則很有必要找一兩本場論或張量分析方面的專業教材仔細研究。若僅為CFD應用的話，找本計算流體力學書籍的附錄看看也差不多夠用了。

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