中信博燒腦技術解讀:如何計算帶傾角平單軸跟蹤器的最優角度

眾所周知，跟蹤器是一種實時追蹤太陽的裝置。通常來說，使用CAD方式可以計算出跟蹤器的最優角度，但是這個方法僅適用於得到一次性的結果。而對於實時變動的各種角度來說，常規的CAD方式則無法滿足跟蹤器項目的實際需求。現在，我和大家聊一聊「跟蹤算法」，看如何使用理論的方式「一勞永逸」地得到跟蹤器最優角度值呢？

一、傳統計算帶傾角平單軸跟蹤器角度的理論方式

熟悉平單軸跟蹤算法的朋友，對於計算理論最優角度的方法應該是比較熟悉了。常規而言是通過使用不同的經驗公式計算出太陽赤緯角和時角，然後再進一進步推導出太陽的高度角和方位角，最後再利用這兩個參數得到平單軸在不同地點不同時間的最優角度。

對於普通平單軸跟蹤器來說，因為組件與轉動軸是相同的平面，計算算法往往使用2維的坐標轉換即可完成，也就是使用平面向量。換句話來說，主軸45度，組件就是45度（如下圖所示）。

二、新型計算帶傾角平單軸跟蹤器角度的理論方式

其實，在計算帶傾角平單軸跟蹤角度時很多實際情況是，當組件帶有一定的角度，也就是帶傾角平單軸時，計算最優角度則需要使用3維坐標轉換公式，也就是空間向量，以保證計算出精準的最優跟蹤角度。在這種情況下，舉例來說如果主軸45度，組件還是45度嗎？背後的理論，我會在下面通過幾何原理一步一步來解說三維角度跟蹤算法。

1．幾何原理

為了方便電機控制平單軸旋轉，跟蹤器傾角傳感器往往都是緊貼旋轉軸。主軸旋轉角度變化，對於組件平面來說角度也必然會跟著改變。不管是雙軸也好，平單軸也好，最優角度其實就是求組件法向量與太陽和組件中心連線的向量之間夾角最小。假設地面為參考坐標系，那麼問題就轉化為求解組件與地面的夾角。

只不過我們很容易就能發現，帶傾角平單軸的組件角度與旋轉主軸的角度變化並不是線性一致的。以帶15度傾角的平單軸為例（如下圖），旋轉主軸0度時，組件與地面夾角為15度。

當旋轉主軸45度時，組件與地面夾角為46．92度（如下圖）。

2．三維跟蹤角度算法的原理

這篇文章裡介紹的3維坐標轉換借鑑了目前可視化行業的計算機3D圖形學，簡單來說，就是將構建好的3維的物體展示到2維的顯示器上。下面，我將闡述一下如何用理論的方法來計算組件與地面的夾角。

假設如下圖所示：

·組件的原法向量為OP1（x1，y1，z1）

·地面坐標系（X，Y，Z）

·X軸為跟蹤器的旋轉主軸

·點Q，N，M分別為向量OP1到平面XZ，YZ和XY上的投影點

問題是：求當主軸轉動一定的角度時，向量OP2與向量OZ的夾角？

從上面的圖可以看出來，主軸繞X軸旋轉時，組件法向量OP也是繞著X軸旋轉，旋轉360度則掃出一個圓錐面。而OP投影到平面YZ上的向量ON則長度不變，以O點為圓心旋轉。

假設原先ON與Y軸夾角為Alpha，向量OP1（x1，y1，z1），當ON轉動Theta角後，OP1坐標變為OP2（x2，y2，z2）。

據此我們可以列出如下左右兩對方程組：

將右邊的那對（y2，z2）方程組展開得到：

再將左邊那對（y1，z1）方程組帶入上面的方程組得到與初始角度Alpha無關的（y1，z1，y2，z2）方程組：

再將一直沒有露面的x1＝x2帶入，這樣就得到了一個6元非齊次線性方程組：

利用行列式「OP2＝常數項xOP1」整理下這個方程組得到一個旋轉矩陣：

至此，關鍵的計算已經完成了。

三、實例分析帶傾角平單軸跟蹤器最優角度的計算方法

下面舉一個具體的例子，當跟蹤器旋轉主軸從放平0度轉動到45度時，求帶傾角15度的組件相對於地面角度。

原組件單位法向量OP1為：

1．主軸轉動45度，則旋轉矩陣為：

2．利用行列式OP2＝旋轉矩陣xOP1得到最終的組件法向量：

3．地面的單位法向量為：

4．得到兩個向量（地面和OP2），可求的其夾角為46．92度。

全過程如下：

至此，帶傾角平單軸真實角度的計算結束。

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作者：中信博海外設計總工 王敏傑（John Smart）