本文首發於知乎專欄《有三AI學院》，https://zhuanlan.zhihu.com/c_151876233
今天來說說softmax loss以及它的變種
1 softmax loss
softmax loss是我們最熟悉的loss之一了，分類任務中使用它，分割任務中依然使用它。softmax loss實際上是由softmax和cross-entropy loss組合而成，兩者放一起數值計算更加穩定。這裡我們將其數學推導一起回顧一遍。
令z是softmax層的輸入，f(z)是softmax的輸出，則
單個像素i的softmax loss等於cross-entropy error如下:
展開上式：
在caffe實現中，z即bottom blob，l(y,z)是top blob，反向傳播時，就是要根據top blob diff得到bottom blob diff,所以要得到
下面求loss對z的第k個節點的梯度
可見，傳給groundtruth label節點和非groundtruth label節點的梯度是不一樣的。
我們看看caffe中Backward的代碼。
Dtype* bottom_diff =bottom[0]->mutable_cpu_diff();const Dtype* prob_data = prob_.cpu_data();caffe_copy(prob_.count(), prob_data,bottom_diff);const Dtype* label =bottom[1]->cpu_data();int dim = prob_.count() / outer_num_;int count = 0;for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {for (int j = 0; j < inner_num_; ++j) {const int label_value =static_cast<int>(label[i * inner_num_ + j]);if (has_ignore_label_ &&label_value == ignore_label_) {for (int c = 0; c <bottom[0]->shape(softmax_axis_); ++c) {bottom_diff[i * dim + c *inner_num_ + j] = 0;}} else {bottom_diff[i * dim + label_value *inner_num_ + j] -= 1;++count;}}}作為loss層，很有必要測試一下，測試分兩塊，forward和backward，我們看看caffe中的代碼。
Test_softmax_with_loss_layer.cppForward測試是這樣的，定義了個bottom blob data和bottom blob label，給data塞入高斯分布數據，給label塞入0～4。
blob_bottom_data_(new Blob<Dtype>(10, 5, 2, 3))blob_bottom_label_(new Blob<Dtype>(10, 1, 2, 3))然後分別ingore其中的一個label做5次，最後比較，代碼如下。
Dtype accum_loss = 0;for (int label = 0; label < 5; ++label) {layer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(label);layer.reset(newSoftmaxWithLossLayer<Dtype>(layer_param));layer->SetUp(this->blob_bottom_vec_,this->blob_top_vec_);layer->Forward(this->blob_bottom_vec_, this->blob_top_vec_);accum_loss +=this->blob_top_loss_->cpu_data()[0];}// Check that each label was included all butonce.EXPECT_NEAR(4 * full_loss, accum_loss, 1e-4);至於backwards，直接套用checker.CheckGradientExhaustive就行，它自己會利用數值微分的方法和你寫的backwards來比較精度。
TYPED_TEST(SoftmaxWithLossLayerTest,TestGradientIgnoreLabel) {typedef typename TypeParam::Dtype Dtype;LayerParameter layer_param;//labels are in {0, ..., 4}, so we'll ignore about a fifth of themlayer_param.mutable_loss_param()->set_ignore_label(0);SoftmaxWithLossLayer<Dtype> layer(layer_param);GradientChecker<Dtype> checker(1e-2, 1e-2, 1701);checker.CheckGradientExhaustive(&layer, this->blob_bottom_vec_,this->blob_top_vec_, 0);}原始的softmax loss非常優雅，簡潔，被廣泛用於分類問題。它的特點就是優化類間的距離非常棒，但是優化類內距離時比較弱。
鑑於此，就有了很多對softmax loss的改進，下面一一道來。
2 weighted softmax loss【1】
這第一個改進就是weighted，怎麼說？假如我們是一個分類問題，只有兩類，但是兩類的樣本數目差距非常之大。比如邊緣檢測問題，這個時候，明顯邊緣像素的重要性是比非邊緣像素大的，此時可以針對性的對樣本進行加權。
wc就是這個權重，像剛才所說，c=0代表邊緣像素，c=1代表非邊緣像素，則我們可以令w0=1，w1=0.001，即加大邊緣像素的權重。
當然，這個權重，我們還可以動態地計算讓其自適應。
具體的反向公式推導，就跟上面差不多不再贅述，詳細的實現我會在git中給出代碼。【1】中用了weighted sigmoid_cross_entropy_loss，原理類似。
固定權重的fixed softmax loss和自適應權重的adapted softmax loss大家可以去git中自行查看。
3 soft softmax loss【2】
首先我們看下面的式子。
當T=1時，就是softmax的定義，當T>1，就稱之為soft softmax，T越大，因為Zk產生的概率差異就會越小。文【2】中提出這個是為了遷移學習，生成軟標籤，然後將軟標籤和硬標籤同時用於新網絡的學習。
為什麼要想到這麼用，這是因為當訓練好一個模型之後，模型為所有的誤標籤都分配了很小的概率；然而實際上對於不同的錯誤標籤，其被分配的概率仍然可能存在數個量級的懸殊差距。這個差距，在softmax中直接就被忽略了，但這其實是一部分有用的信息。
文章的做法是先利用softmaxloss訓練獲得一個大模型，然後基於大模型的softmax輸出結果獲取每一類的概率，將這個概率，作為小模型訓練時soft target的label。
4 Large-Margin Softmax Loss【3】
這是文【3】中提出的loss，被稱為L-Softmax loss。我們先從一張圖來理解下softmax loss，這張圖顯示的是不同softmax loss和L-Softmax loss學習到的cnn特徵分布。第一列就是softmax，第2列是L-Softmax loss在參數m取不同值時的分布。通過可視化特徵可知學習到的類間的特徵是比較明顯的，但是類內比較散。而large-margin softmax loss則類內更加緊湊，怎麼做到的呢？
先看一下loss的定義形式如下。
由於 zk 是全連接層的輸出，所以它可以寫成
的形式，將內積更具體的表現出來，就是
我們看二分類的情況，對於屬於第1類的樣本，我們希望
如果我們對它提出更高的要求呢？由於cos函數在0～PI區間是遞減函數，我們將要求改為
其中m>=1，
在這個條件下，原始的softmax條件仍然得到滿足。
我們看下圖，如果W1=W2，那麼滿足條件2，顯然需要θ1與θ2之間的差距變得更大，原來的softmax的decision boundary只有一個，而現在類別1和類別2的decision boundary不相同，這樣類間的距離進一步增加，類內更近緊湊。
更具體的定義如下：
L-Softmax loss中，m是一個控制距離的變量，它越大訓練會變得越困難，因為類內不可能無限緊湊。
作者的實現是通過一個LargeMargin全連接層+softmax loss來共同實現，可參考代碼。
5 angular softmax loss【4】
也稱A-softmax loss。它就是在large margin softmax loss的基礎上添加了兩個限制條件||W||=1和b=0，使得預測僅取決於W和x之間的角度θ。
上圖分別比較了原softmax loss，原softmax loss添加||w||=1約束，以及在L-softmax loss基礎上添加||w||=1約束的結果。
為什麼要添加|w|=1的約束呢？ 作者做了兩方面的解釋，一個是softmax loss學習到的特徵，本來就依據角度有很強的區分度，另一方面，人臉是一個流形，將其特徵映射到超平面表面，也可以解釋。
6 L2-constrained softmax loss【5】
將學習的特徵x歸一化。作者觀測到好的正面的臉，特徵的L2-norm大，而特徵不明顯的臉，其對應的特徵L2-norm小，因此提出這樣的約束來增強特徵的區分度。
上面式就是將其歸一化到固定值α。實際訓練的時候都不需要修改代碼，只需要添加L2-norm層與scale層，如下圖。
為什麼要加這個scale層？NormFace【6】中作出了解釋。
該文章指出了直接歸一化權重和特徵，會導致loss不能下降。因為就算是極端情況下，多類樣本，令正樣本|wx|=1取最大值，負樣本|wx|=-1取最小值，這時候分類概率也是
當類別數n=10，p=0.45；n=1000，p=0.007。當類別數增加到1000類時，正樣本最大的概率還不足0.01，而反向求導的時候，梯度=1-p，會導致一直傳回去很大的loss。
所以，有必要在後面加上scale層，作者還計算出了該值的下界，具體可自行參考。
7 additive margin softmax loss【7】
定義如下
看明白了吧，就是把L-Softmax的乘法改成了減法，同時加上了尺度因子s。作者這樣改變之後前向後向傳播變得更加簡單。其中W和f都是歸一化過的，作者在論文中將m設為0.35。
值得注意的是，normalization是收斂到好的點的保證，同時，必須加上scale層，scale的尺度在文中被固定設置為30。
那到底什麼時候需要normalization什麼時候又不需要呢？這實際上依賴於圖片的質量。
我們看一個公式如下
其中α就是向量x的模，它說明模值比較小的，會有更大的梯度反向傳播誤差係數，這實際上就相當於難樣本挖掘了。不過，也要注意那些質量非常差的，模值太小可能會造成梯度爆炸的問題。
8 argface additive angular margin【8】
定義如下：
在定義這個loss的時候，作者乾脆做了一個表把現有基於softmax loss及其改進的loss的二分類決策邊界條件都列了出來。
說累了，一句話，有效。。。
到此可以說為了改進softmax loss用盡了手段了，至於有沒有用，具體效果大家去嘗試吧，附上未完整的GitHub連結。
https://github.com/longpeng2008/Caffe_Long先寫到這裡，後續再充實實驗結果和更多原理。
【1】Xie S, Tu Z.Holistically-nested edge detection[C]//Proceedings of the IEEE international conference on computer vision. 2015: 1395-1403.
【2】Hinton G,Vinyals O, Dean J. Distilling the knowledge in a neural network[J]. arXiv
preprint arXiv:1503.02531, 2015.
【3】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural
Networks[C]//ICML. 2016: 507-516.
【4】Liu W, Wen Y,Yu Z, et al. Sphereface: Deep hypersphere embedding for face
recognition[C]//The IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition
(CVPR). 2017, 1.
【5】Ranjan R, Castillo C D, Chellappa R. L2-constrained softmax loss for discriminative face verification[J]. arXiv preprint arXiv:1703.09507, 2017.
【6】Wang F, Xiang X, Cheng J, et al. NormFace: $ L_2 $ Hypersphere Embedding for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1704.06369, 2017.
【7】Wang F, Liu W,Liu H, et al. Additive Margin Softmax for Face Verification[J]. arXiv preprint arXiv:1801.05599, 2018.
【8】Deng J, Guo J, Zafeiriou S. ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face
Recognition[J]. arXiv preprint arXiv:1801.07698, 2018.