拉普拉斯妖是個什麼鬼?

2021-01-19 西方閃電



「偶然是所有知識的敵人」,在《丈量世界》裡,作家借19世紀最偉大的數學家高斯之口如此說,「它使人在過去面前擁有一種不恰當的優勢,同時又讓人成為未來的小丑。」小說中的高斯還向他那笨拙的兒子歐根解釋,偶然根本就是一個測量的問題:當你站得足夠近,你可以發現事物運轉背後的精妙機制;當你站到足夠遠,你能夠看見萬物運行的整體輪廓。而所謂偶然,不過是因為你恰好站在了一個不遠又不近的尷尬位置。

沒有證據顯示真實世界裡的高斯講過這番話。但毫無疑問,這就是19世紀智者的心聲。經過17至18世紀的洗禮,19世紀最傑出的那一部分人開始用數學和科學來驗證哲學家推崇的理性——高斯正是其中的一員。啟蒙思想家把運氣從高深莫測的雲端踢下凡間,將其貶斥為偶然(chance)——一種迷惑平庸之輩的迷信,甚至連最具懷疑精神的大衛·休謨也不認為決定論有什麼大問題。他只是懷疑,人類憑藉知識未必能夠真正地理解它。而19世紀的人們則高舉「測量」(measurement)的旗幟衡量一切:聲、光、電、熱、物質、能量等等。在他們眼中,通過測量,萬物激發出了規律的光彩。

至於偶然,從拉普拉斯發明誤差函數以來,理論上已經不再是問題。大家相信,隨著科學的進步,誤差肯定會越來越小,偶然斷無容身之地。這種樂觀的情緒籠罩著整個19世紀,催生出各種建基於「positive」(確定的、積極的、正面的、求實的)的「實證主義」(positivism)。

偶然沒有容身之所,上帝的寶座上盤踞著「拉普拉斯妖」(Démon de Laplace)——一隻洞悉一切的決定論怪物。拉普拉斯在《概率的哲學導論》是這樣描繪它的:

「比如說,已知存在一個神明,它能徹底領悟所有使自然界生機盎然的自然力,以及組成自然界諸生靈的每一種境遇,一個強大到足以將所有這些數據進行分析的智力,它也會以同樣的公式包容所有的運動,無論是來自宇宙最巨大的軀體的,還是來自最細小原子的;之於這一神明,任何事物都不會是不確定的,未來如同過去,會呈現在它的眼前。」

拉普拉斯敢於向世人推銷如此強力的決定論觀點,概因他認為偶然已經被誤差解釋了。不過確切地講,他「發明」的誤差函數早在1734年和1794年就分別被棣莫弗(Abrahamde Moivre)以及高斯發明過。在測量盛行的那個時代,一個數學定律以多種面目被多次發明乃是常事。道理很簡單,一個測量者如果不能對偏離的數據做出正確的解釋,他的測量就不可能稱得上嚴肅。因此熱衷測量的天體學家和物理學家必然也是應用數學家。當他們在處理數據時發現每一個測量值都是混雜著誤差的複合物,他們就已經在概率論和統計學的發展史上扮演了或輕或重的角色。誤差函數、正態分布、大數定律等,這些重要的概念就是如此誕生的。

不過,19世紀上半葉的生理學家和醫學家沒有對拉普拉斯妖表現出足夠的尊敬。例如法國醫學家畢夏(M.Bichat)很早就提出了抗議。他認為,「自然界有兩類存在、兩類性質、兩類科學。存在或是有機的或是無機的,性質或是活力的或是非活力的,科學或是生理的或是物理的。」而生命作為有機的存在,具有活力的性質,所遵從的必是近似的、不確定的生理規則,而非徹頭徹尾的決定論。即使是至高無上的神明,也不可能計算出生命體的未來狀態。

在表哥達爾文的鼓勵下,「測量狂人」弗朗西斯·高爾頓(Francis Galton)改變了生理學家和醫學家的看法。此人痴迷於各種測量。他很快就接受了正態分布的觀念,並把它運用到統計領域。他測量人的頭顱尺寸、四肢長短、眼鼻大小和指紋特徵,測量君主教士和普通人的壽命,還測量各個城市姑娘們的回頭率。1875年,高爾頓把幾包豌豆均分給7個朋友去播種,翌年回收後供他測量。結果他注意到,大體而言,個頭大的種子結出的豆子比父代要小。反之,個頭小的種子產出的豆子較父代大。他飛快地聯想到人類自身,並用測量的方式證實,父代與子代之間也呈現類似的情形。他得出結論,在相關聯的測量中,如果一個測量的結果遠離平均值,那麼另一個就會更接近平均值。他稱這一現象叫「均值回歸」。

無論從邏輯上講還是就事實而言,高爾頓揭示的「均值回歸」都很有意義——兩個高個子生下的孩子普遍會比他們矮小一些,兩個小個子的孩子通常會比他們高一點兒。如果不是這樣,今天的人類與一萬年前相比,要麼將高得離譜,要麼會矮的出奇。

那麼,能不能就此認為,高個子的父母是生出矮個子兒女的原因呢?顯然不是。因為影響一個人身高的因素太多了。遺傳的、環境的、營養的等等。所以高爾頓推出了他的另一發明「相關係數」,用來反映兩個相關變量的關係密切程度。係數取值於-1和1之間,越趨近於-1或1,證明相關程度越高,越趨近於零則說明相關程度越低。

有了均值回歸和相關係數這兩個重要的工具,統計學在19世紀末迅速走向成熟。可是令人驚訝的是,它對決定論的侵蝕也相當迅速。因為人們發覺,沒有嚴苛的因果關係,也能大致無誤,甚而更加熨帖地理解世界。當誤差律的重要性越來越顯著,拉普拉斯妖就不得不將自己的寶座挪出一個位置。以至於高爾頓在1886年的演講中宣布,如果希臘人知道誤差律的話,他們一定會將其尊為神。

就這樣,改頭換面的偶然又回來了。難怪1897年的馬拉美(Stephane Mallarme)在詩中寫道:「骰子一擲,永遠取消不了偶然」。


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