拉普拉斯變換中的S是個什麼鬼?

A good way of thinking of where the Laplace Transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.——Arthur Mattuck (MIT數學系返聘教授，原MIT數學系主任)

一個比較好的關於Laplace變換的解釋方法是從冪級數(Power Series)入手。

Pierre-Simon marquis de Laplace 

(1749－1827)

(圖片來源：維基百科)

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵（法語：Pierre-Simon marquis de Laplace），法國著名的天文學家和數學家，他的研究工作對天體力學和統計學有舉足輕重的發展。他也是拉普拉斯變換和拉普拉斯方程的發現者，對數學和物理學的發展具有傑出貢獻。

學過控制的都知道拉普拉斯變換(Laplace Transform)，但是你們是不是也有疑問，拉普拉斯變換中的S到底是個什麼鬼？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵當年為啥就能想出個這樣的數學變換公式？

我是自從接觸拉普拉斯變換就一直有這樣的疑問，就感覺這種東西很強行，你沒有理解卻又無法拒絕。直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟，膜拜大神！

我們知道，一個冪級數可以寫為如下形式：

(1.1)

如果將an看成一組離散的函數數列，則上式也可以寫為：

(1.2)

把a(n)看成是作為冪級數係數的一組離散函數，上式就可以看作是函數A(x)的構造過程，即，只要輸入一個{a(0),a(1),a(2),⋯}序列，就可以輸出一個A(x)，其中，x 是輸出函數A(x)的自變量。

現在，舉一個例子，如果取a(n)=1，即{a(0)=1,a(1)=1,a(2)=1,⋯}那麼我們將得到：

(1.3)

有人說上式最後等於1/(1-x)，但這麼說其實不準確，因為並不是對於所有的x上式都成立，只有當它是一個收斂級數時才成立！而式(1.3)中x 的收斂域為(-1,1)，所以式(1.3)可以改寫為：

(1.4)

再舉一個例子，如果a(n)=1/n!，則有：

(1.5)

在這個例子裡，x 對於任意實數均成立，其實上式就是ex 在x =0 處的泰勒展開。

從上面的例子可以看出，取一個定義在正整數或非負的整數上的離散函數，然後進行加和操作，結果卻能夠產生一個連續函數。注意其中的離散函數an的變量為n，加和得出的結果卻是關於變量x。總之，這是冪級數的一種性質，也屬於一種離散求和的情況。

假設讓這個求和變得連續而不是離散，即不是讓變量n =0,1,2,3…，另外定義一個變量t，並且0≤t＜∞，即t可以為[0，∞)中的任意實數。

如果想用t 取替代n，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法在所有實數上求和，而是要通過積分。即：

(1.6)

我們可以保留這種形式，但是沒有數學家喜歡這樣做，而且工程師也很少這樣做，因為當進行積分和微分操作時，沒有人希望其中包含一個指數函數的底是x 之類的積分或微分項，這讓人看起來很頭疼。而唯一方便的是自然底數e。只有e 才是人們喜歡用來積分或微分的，因為對以自然底數為底的指數函數y=eax 進行積分或微分後的結果還是其本身或僅僅是本身乘以了一個係數，滿足該性質的函數世界上僅此一家、別無分店！！！想知道e的來源請見《自然底數e怎麼就「自然」了》。

因此我們將以x 為底數的指數變換成為以e 為底數的指數形式：

(1.7)

現在，我們再看這個積分，顯然，我們寫出這個積分當然希望其可解，或者說收斂。畢竟這是一個從零到無窮大的廣義積分，我們需要特殊對待，只有當x 是一個小於1的數時該積分才有可能收斂，只有這樣，當冪越來越大時，得到的數才會越來越小，所以這裡要求x ＜1。然後，我們還希望x 為正值，否則會遇到負冪的麻煩，例如當x =-1，t =1/2時，將得到虛數，這是我們所不願看到的，所以要求0＜x ＜1，我們這麼做是為了讓積分收斂。那麼在這種情況下，lnx又會是什麼樣的呢？顯然，當0＜x ＜1時，lnx ＜0。

lnx 這個變量看起來貌似有點複雜，我們何不用一個變量去代替它呢？

那麼就用s 吧！

現在令s = -lnx 或-s = lnx，因為lnx ＜0，取-s = lnx的話，s 就總為正數了，處理正數當然更符合人們的習慣。另外，我們用f (x )代替a (x )，這樣看上去更像我們熟悉的函數形式。我們上面各種替換都只是為了修飾，我們將這些替換代入式(1.7)中，得：

(1.8)

我們居然通過這種方式得到了Laplace Transform！！！

如果用符號代替，可以將式寫為：

(1.9)

這就是拉普拉斯變換，當將一個t 的函數輸入，將得到一個關於s 的函數。

另外提一下，這裡說的是「變換」，其實數學中還有一個概念叫做「算子」，而變換和算子的最本質區別在於，經過「算子」運算，變量沒有變，比如微分就是一種典型的算子，而經過「變換」運算則會改變變量的形式。

Reference

[1] Pierre-Simon Laplace, https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

[2] Differential Equation, Arthur Mattuck