拉普拉斯變換的本質意義(好文!通俗易懂)

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本文將從通俗的角度看待拉普拉斯變換。

奧列弗.赫維賽德，維多利亞時期英國人，全靠自學，聽力殘疾。很多人熟悉赫維賽德是因為MATLAB有一個赫維賽德（Heaviside）函數。

赫維賽德簡化了麥克斯韋方程組：即變化的電場產生磁場，變化的磁場產生電場。讓20個方程組便成了4個。
**赫維賽德另一個貢獻就是我們今天要說的運算微積分-它可以將常微分方程轉換為普通代數方程。**赫維賽德是怎麼解微分方程的呢？他把微分、積分運算用一個簡單的算子來代替。

也就是說，在某種算子下，積分和微分對應的是倒數關係，至於算子 p 代表什麼，赫維賽德也沒有多解釋，在缺乏嚴密數學基礎的情況下，人家直接放在文章就用了，還發表了。比如常見的一個二階常微分方程，

如果用赫維賽德的微分算子變換一下，就變成了代數表達式。

赫維賽德之所以這麼做，是因為他的「物理直覺」告訴他這麼做，就是這麼硬。這顯然是一種開外掛的行為，因此也受到當時的主流數學家們們的攻訐，他們認為赫維賽德就是十足的「民科」，文章沒什麼理論依據，自己在那空想呢。當然，赫維賽德也不是弱雞，科學家懟起人來，也是毫不含糊：「因為我不能理解消化過程就拒絕晚餐嗎？不，只要我滿意這個結果。」
好了，扯了那麼遠，有童鞋已經不耐心了：這些和拉普拉斯變換有什麼關係？謎底就是：赫維賽德的微積分算子，就是拉普拉斯變換的前身。

在說拉普拉斯變換以前，我們要先提一下傅立葉變換，這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。傅立葉變換說的是什麼事？說的是自然界的很多現象，都可以用三角函數進行分解。

clc;clear;
h = animatedline;
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
grid on;
title('\omega = 1rad/s Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1]);
axis square;
N = 100;
t=linspace(0,2*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
addpoints(h,x(k),y(k));
hold on
quiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)
b = toc(a); % check timer
if b > (1/90)
drawnow % update screen every 1/30 seconds
a = tic; % reset timer after updating
end
end

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你能想像到很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續旋轉的圓，通過線性疊加得到，而傅立葉定律，就是對這個結論的數學描述。
傅立葉定律說：只要一個函數滿足如狄利赫裡條件，都能分解為復指數函數之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有稜角的方波函數。狄利赫裡條件為：

其中可去間斷點和跳躍間斷點屬於第一類間斷點
於是就可以很好的解釋拉格朗日和傅立葉之間的爭論了——拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號，稜角處會有很小高頻波動（吉布斯現象）。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基於此，傅立葉也是對的。一個從數學家的角度，一個從工程師的角度。

clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
zl=zlabel('t');%
set(xl,'Rotation',30);%
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;
x=cos(w*t);
y=sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
hold on
line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
b = toc(a); % check timer
if b > (1/90)
drawnow % update screen every 1/30 seconds
a = tic; % reset timer after updating
end
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clc;clear;
h = animatedline;
h1=gcf;
view(3);
xl=xlabel('cos(\omegat)');%
yl=ylabel('sin(\omegat)');%
zl=zlabel('t');%
set(xl,'Rotation',30);%
set(yl,'Rotation',-30);%
grid on;
title('\omega = 1rad/s Made by J Pan')
axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])
N = 200;
t=linspace(0,4*pi,N);
w=1;sig=-0.2;
x=exp(sig*t).*cos(w*t);
y=exp(sig*t).*sin(w*t);
a = tic; % start timer
for k = 1:N
addpoints(h,x(k),y(k),t(k));
hold on
line([0 x(k)],[0 y(k)],[t(k) t(k)],'Color','red')
b = toc(a); % check timer
if b > (1/90)
drawnow % update screen every 1/30 seconds
a = tic; % reset timer after updating
end
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螺旋曲線和衰減函數的乘積：一個半徑不斷減小的螺旋曲線。從不同的平面看，就是不斷衰減的正弦或者餘弦曲線，從複平面來看，是一個半徑不斷減小的圓。

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