學不到的數學經典:拉普拉斯本人是如何推導出拉普拉斯變換公式的

2020-12-04 電子通信和數學

傅立葉變換和拉普拉斯變換是高等數學的重要內容，這兩大變換貫穿於各個自然學課，傅立葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅立葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念，今天我們從一種全新的視角分析拉普拉斯變換是怎麼得到的。

如下是一個非常熟悉的冪級數

當an等於如下結果時，可以得出f(x)等於，我們都知道冪級數和都是以一種離散的形式存在

我們將上式變換，得到積分狀態下的連續形式

結合你已有的數學基礎，來分析下，如下圖所示，非常簡單

所以我們重點分析0<x<1時的情況

根據上述結論，我們得到

最終得到著名的拉普拉斯變換公式

由此將離散下的冪級數變成連續下的黎曼和形式（積分形式），就得到了著名的拉普拉斯公式，非常巧妙。

拉普拉斯地逆變換就是

對拉普拉斯變換有一個形象的描述你在一天夜裡乘火車去一個城市，外面很黑，你看不到任何風景，無所事事的你偶爾看到車廂內有一個高度計，有心的你就開始記錄沿途的海拔變化。

無聊的過了幾個小時，你和車長開始攀談起來："這地形很有意思，大部分時間我們的火車都在往上爬，但我發現有時候不是很有規律，沿途同樣有陡峭的下坡，然後是個較淺的山谷。車長回答道：「是啊，我猜是吧。咱們的目的地位於一個大型的山脈的山腳，所以總體來講車的海拔在升高，但是沿途我們翻過了一座山丘，跨過了一道山谷。"

現在，根據列車長的敘述，想想如何理解海拔高度和途徑距離的關係。由於你直接測量了海拔的高度，你當然可以說你知道這裡所有的對應關係。對比而言，列車長知道的一樣多，但他的信息更加簡單也更加直觀。山丘和山谷的位置引起了列車海拔的起伏，你對這一信號的描述是幾千個獨立的測量點，而車長的描述只含有幾個參數。它反映了區域內的地形變化，這個區域就是S平面

要把這個事例和信號處理聯繫起來，我們可以假設要理解電路的幾個參數，為了實現這一目的，我們仔細地測量了衝擊響應和頻率需要，而衝擊響應和頻率響應包含了一個線性系統地所有信息。

拉普拉斯變換在設計上是為了分析一類特殊的信號：有正弦函數和指數函數構成的衝擊響應。如果對其他波形做拉普拉斯變換得到的S域就沒有實際意義

如下是拉普拉斯和傅立葉變換的區別，一目了然

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    傅立葉變換後，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區間上的分信號，那麼給定一組周期值(或頻率值)，我們就可以畫出其對應的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話 ，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。
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    打開APP 拉普拉斯變換及其逆變換表拉普拉斯變換及其逆變換表 發表於 2017-12-05 18:30:31 　　拉普拉斯變換應用領域定理 　　有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果， 　　在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。
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