拉氏變換中的S到底是什麼?

A good way of thinking of where the Laplace transform comes from, and a way which dispels some of its mystery is by thinking of power series.(一個比較好的關於Laplace變換的解釋方法是從冪級數(Power Series)入手。)

    — —Arthur Mattuck (原MIT數學系主任)

    學過控制的都知道拉氏變換(Laplace Transform)，其可以將微分方程轉化為代數方程進行運算，使得求解大為簡化。

    但你們是不是也有這樣的疑問：拉氏變換中的S是怎麼來的？皮埃爾-西蒙·拉普拉斯當年為啥就能想出個這樣的數學變換公式？

Pierre-Simon Laplace (1749–1827)

圖片來源：（Wikipedia）

    我是自從接觸拉氏變換就一直有這樣的疑問，直到有一天，看了Arthur Mattuck的微分方程才恍然大悟。更有意思的是，導師有一天也問了這樣一個看似無釐頭的問題，還好當時有所準備。

Arthur Mattuck

    如果學過高等數學，都應該知道：一個冪級數可以寫為如下形式：

(1)

    

    將其展開其實就是：A(x) = a0+a1x1+a2x2+...+anxn

    

    如果將其中冪級數的係數an看成一組離散的函數，則上式(1)也可以寫為：

(2)

    通過把a(n)看作一組關於變量n的離散函數，式(2)相當於描述了函數A(x)的構造過程。

    輸入是離散函數數列{a0, a1, a2, ⋯, an}，輸出則是由多項式構成的函數A(x)。即，只要輸入一個{a0, a1, a2,⋯, an}數列，就可以輸出一個函數A(x)，其中，x 是輸出函數A(x)的自變量。

    現在，舉一個例子，如果取a(n)=1，即{a0=1, a1=1, a2=1, ⋯, an=1}，那麼將得到輸出為：

(3)

    有人說式(3)最後等於1/(1-x)，但這麼說其實不準確，因為並不是對於所有的x都成立，只有當它是一個收斂級數時才成立！

    而式(3)中x的收斂域為|x|∈(-1,1)，所以當滿足收斂條件時，式(3)可以改寫為：

(4)

    再舉一個例子，如果a(n)=1/n!，即{a0=1, a1=1/1!, a2=1/2!, ⋯, an=1/n!}，則有：

(5)

    在這個例子裡，對於任意x均成立，即收斂域為ℂ。其實式(5)就是函數ex在x=0 處的泰勒展開，或者說是函數ex的麥克勞林級數。

    從上面的例子可以看出，取一個定義在正整數上的離散函數，然後進行無窮次的相加操作，結果卻能夠產生一個連續函數。而且注意其中的離散函數an的變量為n，相加得出的卻是關於變量x的連續函數。

    現在，讓離散求和變成連續求和，即不再是變量n=0, 1, 2, 3…，而是另外定義一個變量t，並且有0≤t<∞，即t可以為[0，∞)中的任意數。

    如果想用t取替代n，顯然不能再用上面處理離散序列的辦法進行求和，而是通過積分操作。即：

(6)

    式(6)與式(1)的區別在於：用t取替代了n；用積分符號替代了累加符號。

    我們可以保留這種形式，但是沒有數學家喜歡這樣做，而且工程師也很少會這樣做。因為在做微積分運算時，沒有人希望其中有一個指數的底是x之類的積分或微分項，這看起來很頭疼。而唯一方便的是取指數的底數為自然常數e。只有以e為底是指數才是人們喜歡用來積分或微分，因為ex在微積分時可以保證自身不變函數，詳見：《自然常數e到底自然在哪？》和《誰將成為"三體"世界的最後贏家？》。

    因此，將以x為底數的指數替換成以e為底數的指數形式：

(7)

    既然寫出這個積分當然希望其可解，或者說收斂。而只有當x是一個小於1的數時，即自然指數函數的冪為負數時，該積分才有可能收斂，所以這裡要求x<1。作為對數，還需要滿足x>0（對數的詳細介紹請見：《為什麼說"對數"延長了天文學家壽命？》），所以這裡有0<x<1。顯然，當0<x<1時，lnx<0。

    lnx 這個變量看起來貌似有點複雜，我們何不再用一個符號去代替它呢？

    那麼就用s吧！

    令s = -lnx 或-s = lnx，因為上面說了lnx<0，取-s = lnx的話，s 就總為正數了，處理正數當然更符合人們的習慣。另外，用f (x)代替a(x)，這樣看上去更像我們熟悉的函數形式。這些替換只是為了修(hao)飾(kan)，現將這些替換代入式(7)中，得：

(8)

    通過這種方式，我們得到了Laplace Transform！

    

    如果用符號表示這種變換，可以將式(8)寫為：

(9)

    這就是Laplace變換，當輸入一個關於t的函數，將得到一個關於s的函數。

    最後提一句，這裡說的是變換，而對於一個算子來說，就不會是這樣，變換和算子的最本質區別在於，經過算子運算，變量沒有變，比如微分就是一種典型的算子。經過變換則會改變變量的形式，類似的例子可見：《如何給文科生解釋傅立葉變換？》。