數字電路中卡諾圖的應用

在數字電路中，卡諾圖是用最小項方格表示邏輯函數的方法，其是用圖形表示輸入變量與函數之間的邏輯關係，它用幾何位置上的相鄰，形象地表示了組成邏輯函數的各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。初學者往往以為卡諾圖只是數字電路分析和設計中用以化簡邏輯函數的一種工具。其實不然，實際上靈活運用卡諾圖，可以使邏輯電路的分析和設計過程大大地簡化，讓一些難題迎刃而解。下面介紹卡諾圖在化簡之外的幾點靈活運用。

　　1 卡諾圖的應用

　　1.1 利用卡諾圖結構幫助記憶格雷碼

　　格雷碼是一種常用的無權BCD碼，相鄰兩碼之間只有一位二進位數碼不同。常用於模擬量的轉換中，當模擬量發生微小變化而可能引起數字量發生變化時，格雷碼僅改變1位，這樣與其他碼同時改變兩位或多位的情況相比更為可靠，可減少出錯的可能性，提高電路的抗幹擾能力，它是一種典型的可靠性代碼，這種碼制在數控裝置中有著廣泛的應用。但由於這種編碼所具有的獨特性，實際應用中很難記憶。經研究和探討，我們觀察到利用卡諾圖按照一定規律取值，可用於實現記憶格雷碼。這種獨特的記憶方式，可幫助學生方便、輕鬆地記住該編碼，並應用於實際中。

　　選用四變量卡諾圖並令：G3G2G1G0分別作為四位格雷碼的輸入變量。將變量G3G2作為高位，GlGO作為低位。畫出四變量卡諾圖。從四變量卡諾圖中我們可見，卡諾圖中四變量若按箭頭所示的方向順序取值，其所取的值變化順序正好即為四位格雷碼的編碼表，如圖1格雷碼的卡諾圖表示法所示。十進位數從 0～15，對應四位格雷碼的輸入代碼依次分別為0000—0001—0011——1001一1000，如表l所示格雷嗎碼的編碼表。

　　

　　1.2 卡諾圖在組合邏輯電路競爭冒險中的應用

　　競爭冒險，是數字電路中一種特有的現象。不同的門電路有著不同的延遲時間，輸入信號經過不同的途徑進行傳輸，到達輸出端的時間有早有遲，狀態變化有先有後，存在時差。這種狀態變化存在時差的現象就叫做「競爭」。如果競爭結果是使穩態輸出的邏輯關係受到短暫破壞，出現不應有的尖峰脈衝，這種現象就叫做「冒險」。冒險可能使電路產生暫時或永久的邏輯錯誤。

　　在進行邏輯電路設計時，我們必須應發現和判別出產生競爭冒險的可能，並採取積極有效的措施將競爭冒險予以消除。判斷和消除競爭冒險的方法很多，最簡便和最直觀的方法就是使用卡諾圖。

　　使用卡諾圖判斷一個組合邏輯電路是否存在著競爭冒險的一般步驟是：首先畫出該電路邏輯函數的卡諾圖，然後在函數卡諾圖上畫出與表達式中所有乘積項相對應的卡諾圈，如果圖中有相切的卡諾圈，則該邏輯電路存在著競爭冒險如圖2所示，所謂卡諾圈相切即兩個卡諾圈之間存在不被同一卡諾圈包含的相鄰最小項。

　　

　　如果邏輯函數的卡諾圖中存在著相切的卡諾圈，該邏輯電路就存在著競爭冒險;那麼，只要使函數的卡諾圖中消除相切的卡諾圈，即可消除競爭冒險現象。在卡諾圖上，加上一個與兩相切卡諾圈相交的一個圈(一項)，破壞卡諾圈的單獨相切性。加上此圈後，邏輯函數多了一個冗餘項，冗餘項的加入並不改變原邏輯函數的邏輯值，但冗餘項的加入卻可以有效地消除冒險。

　　

　　例如圖3所示的卡諾圖中，有兩處存在卡諾圈相切現象，故其表示的邏輯函數式F=ABC十ABD+AD存在冒險。可加兩個卡諾圈(虛線圈)破壞其相切性，也即增加兩個冗餘項BCD和ACD，消除競爭冒險後，該邏輯函數的表達式如下所示：

　　

　　由此可見，使用卡諾圖判斷和消除數字電路中的競爭冒險，簡便直觀，易於操作。

　　1.3 用卡諾圖完成兩邏輯函數的邏輯運算

　　首先將邏輯函數F1和F2在同一張卡諾圖中表示出來。為區別起見，將函數F1出現的l填在卡諾圖小方格的左上角，將另一函數F2出現的l填在卡諾圖小方格的左下角。

　　下面以幾個常見的邏輯運算為例來說明。

　　1)求兩邏輯函數Y1和Y2的或運算F1+F2

　　根據或運算的特點，求或運算時，只要將Y1、Y2卡諾圖中出現的所有l都畫入包圍圈，然後根據卡諾圖寫出表達式。

　　2)求兩邏輯函數Fl和F2的與運算Fl·F2

　　根據與運算的特點，求與運算時，只要將F1、F2卡諾圖中重複出現的l畫入包圍圈，然後根據卡諾圖寫出表達式。

　　3)求兩邏輯函數Fl和F2的異或運算Fl+F2

　　根據異或運算的特點，求異或運算時，只要將Fl、F2卡諾圖中不重複出現的l畫入包圍，然後根據卡諾圖寫出表達式。

　　例：已知兩邏輯函數F1(A，B，C)=∑m(0，1，3)，F2(A，B，C)=∑m(0，4，5，7)，試用卡諾圖分別求出F1+F2;Fl·F2和Fl+F2。

　　解：

　　1)將邏輯函數Fl、F2在同一張卡諾圖中表示出來，將函數出現的1填在卡諾圖小方格的左上角，將函數F2出現的l填在卡諾圖小方格的左下角，如圖4;

　　2)求Fl+F2時，將Fl、F2卡諾圖中出現的所有l都畫入包圍圈，如圖5;

　　3)求F1·F2時，將F1、F2卡諾圖中重複出現的1畫入包圍圈，如圖6;

　　4)求F1+F2時，將F1、F2卡諾圖中不重複出現的1畫入包圍圈，如圖7;

　　5)根據圖5、6、7寫出函數表達式：

　　

　　1.4 使用降維卡諾圖化簡多變量函數

　　在卡諾圖中，通常我們用「0」、「1」以及無關項「d」(或用「×」表示)作為卡諾圖中的單元值，函數的變量都作為卡諾圖的變量，一般來說，卡諾圖的維數也就是函數的變量數.如果將某些變量也作為圖中的單元值，則所得到的卡諾圖維數將減少，這樣的卡諾圖叫做降維卡諾圖。在用中規模集成電路，特別是用數據選擇器來實現函數時，使用降維卡諾圖化簡多變量函數是非常有用的。降維卡諾圖化簡原理在此不再贅述。

　　例如邏輯函數F(A，B，C，D)=∑m(0，3，5，6，9，10，12，15) 如果選用8選1數據選擇器74LSl5l實現組合邏輯函數，由於8選l數據選擇器的地址變量為3個，將邏輯函數降維為三維卡諾圖後與8選1數據選擇器含 Di的卡諾圖對照比較(見圖8)，很容易獲得數據選擇器輸入信號與邏輯函數變量的關係：令A2=A，A1=B，A0=C，則 Do="D3"=D5=D6=D，Dl=D2=D4=D7=D，畫出邏輯圖，如圖9所示。

　　

　　

　　如果選用4選一數據選擇器實現邏輯函數，還可以將三維卡諾圖繼續降維成二維卡諾圖後與4選l數據選擇器含Di的卡諾圖對照比較(見圖11)，獲得數據選擇器輸入信號與邏輯函數變量的關係：A1=A，A0=B，D0=D3=CD+CD=C+D，Dl=D2=CD+CD=C+D

　　用4選一數據選擇器實現邏輯函數見圖10。

　　

　　2 結束語

　　從以上幾例論述可知，卡諾圖的用途不只限於邏輯函數化簡的功能，可廣泛用於記憶或設計有關碼制，競爭冒險中的判斷，數據選擇器實現組合邏輯函數和邏輯函數的邏輯運算等，深入理解卡諾圖的內涵，巧妙地應用它，能得到意想不到的效果，為數字邏輯電路的分析和綜合帶來很大的方便。