PID微分器與濾波器的愛恨情仇

2021-01-15 網易

　　
0 前面的話

　　這篇文章肝了好久，控制有時候給人的感覺是披著數學外衣的，但是脫下外衣，發現還是控制，本文有一些基本的推導，無非是為最後的算法C實現做鋪墊，最終目的是能在實踐中進行應用和系統調優。

　　目錄

　　0 前面的話

　　

　　目錄

　　

　　1 先說噪聲

　　

　　2 噪聲對於系統的影響

　　

　　3 對於PID控制器的影響

　　

　　4 加入濾波器

　　

　　4.1 傳遞函數

　　

　　4.2 串聯微分的等效形式反饋積分

　　

　　5 C語言實現

　　

　　6 參考

　　

1 先說噪聲

　　在電子設備等電路系統中，噪聲是不被系統需要的電信號；電子設備產生的噪聲會由於多種不同的影響而產生很大的差異。在通信系統中，噪聲是一個錯誤或不希望出現的隨機幹擾從而作用於有效的信號。

　　2 噪聲對於系統的影響

　　噪聲出現的第一個場景，當我們在教室裡做英語聽力，然後旁邊的同學手機忽然來了一條簡訊，這時候往往可以聽到放英語聽力的喇叭會被幹擾，然後會發出嗶嗶嗶的聲音；

　　下面是一個正弦信號跌加噪聲的例子，在原始信號上疊加一定幅度的高斯噪聲，可以看到信號不再像原來的正弦信號那樣完美，具體如下圖所示；

　　

　　或者，很久很久以前，數位電視還沒有普及，那時候的顯像管的黑白電視，也容易出現這樣的雪花一樣的噪聲，疊加在圖片上就會出現這樣的效果，具體如下圖所示；

　　

　　從上述的例子中可以看到，噪聲往往會對系統造成一定程度的影響，但是如果噪聲的幅度減小到一定程度，對於系統的影響可能就沒有那麼容易被發現。

　　下面做一個實驗；在一張黑色圖片上疊加幅度很小幅度的高斯噪聲；從第二張圖片中發現噪聲沒有影響到整體圖片；

　　然後我嘗試提高了整幅圖片的亮度，發現，噪點便開始出來了，這像極平時那些槍版影片的馬賽克畫質；整體的實驗結果如下圖所示；

　　

　　3 對於PID控制器的影響

　　既然噪聲的幅度減小到一定程度，對於系統的影響可能就沒有那麼容易被發現，那麼對理想的PID控制器又有什麼影響呢？

　　不要忘了，在理想PID控制器中，微分控制器會對偏差的變化率（斜率）進行累加，從而產生積分器的輸出；

　　對於微分器來說，即使噪聲幅度足夠小，但是只要達到足夠高頻率，偏差的變化率一樣可以變得很大，下面舉個例子；

　　這裡有一個固定頻率 和賦值 的噪聲為信號1，這個信號可以表示為：

　　於是我們嘗試將信號1的幅度減半，頻率變為原來的兩倍，得到了信號2：

　　以此類推，在信號2的基礎上，幅度再減半，頻率乘以2，得到信號3：

　　簡單畫了一下這個信號，具體如下圖所示；

　　假設分別取三個信號位於 該點的斜率，從圖中可以看到，斜率1，斜率2，斜率3是相同的，簡單驗證一下，在 時刻，可以得到：

　　所以這裡就是求複合函數的微分，由於選取的點比較特殊，發現最終計算得到的結果 ，因此也可以發現，即使減小了噪聲的幅度，但是對於較高頻率的噪聲，依然會產生較大斜率。

　　遇到高頻噪聲，那麼微分器會產生較大的輸出，從而最終對系統造成影響，這是我們不希望出現的結果，因此在反饋迴路中並不希望高頻噪聲進入PID控制器的計算，這裡就需要低通濾波器將噪聲濾除。

　　4 加入濾波器

　　低通濾波器可以濾除高頻信號，這樣保留了有效信號，可以設置所需的截止頻率；系統處理有效信號，由於低頻部分信噪比較高，因此噪聲對於系統的影響較小，而高頻部分，信噪比就很低，這時候對於系統來說，噪聲就會造成不小的影響，具體如下圖所示；

　　

信噪比：有效信號和噪聲的比值，英文名稱叫做SNR或S/N（SIGNAL-NOISE RATIO)；

　　所以下面我們會在PID控制器的微分部分加入低通濾波器，這樣對反饋的信號進行一部分處理，從而減小系統幹擾，如下圖所示；

　　4.1 傳遞函數

　　概念：拉普拉斯變換是對於 函數值不為零的連續時間函數 通過關係式 (式中 為自然對數底 的指數)變換為復變量 的函數 。它也是時間函數 的「復頻域」表示方式。

　　也就是說拉式變換可以將時域關係變換到頻域中，這樣可以便於系統進行分析。

　　下面是本文下面會用到的時域函數對應的拉普拉斯變換：

　　

　　積分：

　　

　　微分：

　　

　　低通濾波器的傳遞函數：

　　

低通濾波器中的截止頻率即為 ，單位是 ；

4.2 串聯微分的等效形式反饋積分

　　串聯等效傳遞函數的關係為，兩個方框串聯等於各個方框傳遞函數的乘積；具體如下所示；

　　

　　因此低通濾波串聯微分的傳遞函數為：

　　閉環負反饋的等效傳遞函數的關係如下所示；

　　

　　這裡我們可以使用負反饋積分的方式，構建等效於串聯微分的傳遞函數，最終的傳遞函數結果是相同的，具體如下圖所示；

　　
串聯微分的形式，可能在算法的實現上會更加直觀，但是會比較費資源；

　　使用負反饋積分的等效形式進行實現，則進一步減少了算法的資源消耗，下面給出一個TI公司的PID算法實現就是通過負反饋積分的等效形式進行實現的。

　　5 C語言實現

　　這裡直接使用了TI公司的PID算法，對於微分部分做了濾波的處理，並且使用的是負反饋積分的方式， 具體可以參考controlSUITE\libs\app_libs\motor_control\math_blocks\v4.2\pid_grando.hPID控制器的整體框圖如下所示，我們只關心微分部分；

　　首先可以發現 滿足：

　　這裡濾波器有兩個係數 和 ，它們必須滿足截止頻率 （單位Hz）和採樣周期 （單位秒）以下的關係：

　　C語言實現如下：

　　/* =================================================================================
File name: PID_GRANDO.H
===================================================================================*/

　　#ifndef __PID_H__
#define __PID_H__

　　typedef struct { _iq Ref; // Input: reference set-point
_iq Fbk; // Input: feedback
_iq Out; // Output: controller output
_iq c1; // Internal: derivative filter coefficient 1
_iq c2; // Internal: derivative filter coefficient 2
} PID_TERMINALS;
// note: c1 & c2 placed here to keep structure size under 8 words

　　typedef struct { _iq Kr; // Parameter: reference set-point weighting
_iq Kp; // Parameter: proportional loop gain
_iq Ki; // Parameter: integral gain
_iq Kd; // Parameter: derivative gain
_iq Km; // Parameter: derivative weighting
_iq Umax; // Parameter: upper saturation limit
_iq Umin; // Parameter: lower saturation limit
} PID_PARAMETERS;

　　typedef struct { _iq up; // Data: proportional term
_iq ui; // Data: integral term
_iq ud; // Data: derivative term
_iq v1; // Data: pre-saturated controller output
_iq i1; // Data: integrator storage: ui(k-1)
_iq d1; // Data: differentiator storage: ud(k-1)
_iq d2; // Data: differentiator storage: d2(k-1)
_iq w1; // Data: saturation record: [u(k-1) - v(k-1)]
} PID_DATA;

　　typedef struct { PID_TERMINALS term;
PID_PARAMETERS param;
PID_DATA data;
} PID_CONTROLLER;

　　/*--
Default initalisation values for the PID objects
--*/

　　#define PID_TERM_DEFAULTS { \
0, \
0, \
0, \
0, \
0 \
}

　　#define PID_PARAM_DEFAULTS { \
_IQ(1.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(1.0), \
_IQ(-1.0) \
}

　　#define PID_DATA_DEFAULTS { \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(0.0), \
_IQ(1.0) \
}

　　/*---
PID Macro Definition
---*/

　　#define PID_MACRO(v) \
\
/* proportional term */ \
v.data.up = _IQmpy(v.param.Kr, v.term.Ref) - v.term.Fbk; \
\
/* integral term */ \
v.data.ui = _IQmpy(v.param.Ki, _IQmpy(v.data.w1, \
(v.term.Ref - v.term.Fbk))) + v.data.i1; \
v.data.i1 = v.data.ui; \
\
/* derivative term */ \
v.data.d2 = _IQmpy(v.param.Kd, _IQmpy(v.term.c1, \
(_IQmpy(v.term.Ref, v.param.Km) - v.term.Fbk))) - v.data.d2;\
v.data.ud = v.data.d2 + v.data.d1; \
v.data.d1 = _IQmpy(v.data.ud, v.term.c2); \
\
/* control output */ \
v.data.v1 = _IQmpy(v.param.Kp, \
(v.data.up + v.data.ui + v.data.ud)); \
v.term.Out= _IQsat(v.data.v1, v.param.Umax, v.param.Umin); \
v.data.w1 = (v.term.Out == v.data.v1) ? _IQ(1.0) : _IQ(0.0);\

　　#endif // __PID_H__

　　6 參考

　　https://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter

　　自動控制原理 第五版 胡壽松 P47

　　

本文授權轉載自公眾號：小麥大叔

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