的方法 線性回歸方程檢驗專題及常見問題 - CSDN

2021-01-07 CSDN技術社區

回歸方程建立及回歸參數的區間估計，但是它們都是建立在假定因變量和自變量線性相關的基礎上。因此，對相關程度進行檢驗也是重要的，相關程度的檢驗方法主要有三種：

相關係數的檢驗

回歸方程的檢驗

回歸係數的檢驗

相關係數的檢驗

變差關係

先來一張圖：

如上圖所示：當給定X0時，Y的實際值與均值的差值就是Y值隨X值的全部變化，稱之為總變差。在總變差中，一部分變差可以用設定的回歸方程解釋，稱之為回歸變差；另一部分變差是回歸方程不能解釋的，稱為剩餘變差，它們之間有下面等式：

如果在總變差Y中，回歸變差所佔的比例越大，則說明Y值隨X值的變化越顯著，或者說X解釋Y的能力越強。反之，回歸變差在總變差中所佔比例越小，則說明Y值隨X值的變化越不顯著，或者說X解釋Y的能力越差。

對於所有數據點，變差之間的關係可以用離差平方和表示：

它們從左到右分別稱為：總離差平方和、剩餘平方和和回歸平方和。

決定係數與相關係數

回歸變差所佔的比例越大，則說明Y值隨X值的變化越顯著。利用回歸平方和與總離差平方和的比值來說明X與Y的相關性，稱為決定係數，即有：

決定係數的開方被稱為相關係數，前面介紹過相關係數r(Excel數據分析工具：協方差與相關係數)，計算公式為：

兩者的計算結果是完全一致的。

相關係數與決定係數都能表示變量之間的線性相關程度，但是相關係數計算更簡便且能表示相關關係的方向。

相關係數的檢驗

當已求得r值時，這個r值是真正刻畫了兩個變量之間的線性關係呢，還是僅僅由於樣本的偶然相關而引起的？僅憑相關係數的大小，不能直接說明變量之間是否存在線性相關，通過對r的檢驗，確定樣本是否抽自一個總體相關係數為0的總體，可以解答這個問題。可以證明r的t統計量服從自由度為n-2的t分布：

範例分析

某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的數據，列入下表中，根據這些數據對回歸方程相關係數r在顯著水平0.05做雙側檢驗。

解：運用Excel對數據進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；

決定係數為0.9149，相關係數r=0.9565；相關係數r的假設檢驗過程如下：

回歸方程的檢驗

對回歸方程進行顯著性檢驗，就是看自變量從總體上是否對因變量有明顯的影響。有回歸方程y=a+bx，如果b=0，則Y等於一個常數a，X與Y沒有任何關係，故方程不存在。如果b不等於0，則Y隨著X的變化而變化，說明方程有意義。

為了對b=0進行檢驗，需要構造一個檢驗的統計量。可以證明：在一元線性回歸中，當b=0時，有以下結論：

範例分析

某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的數據，列入下表中，根據這些數據對回歸方程在顯著水平0.05做單側檢驗。

解：運用Excel對數據進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；

回歸係數的檢驗

上面回歸方程的檢驗是利用b=0時，回歸方程的特性建立F統計量，進而進行假設檢驗。也可以構造另一個統計量t，如下：

利用上述t統計量即可對b進行假設檢驗。

範例分析

再次使用上面的例題：某市欲對貨運總量與工業總產值的數量關係進行研究，以便通過工業總產值預測貨運總量。現將1991-2000年的數據，列入表8-1中，根據這些數據對回歸係數b在顯著水平0.05做雙側檢驗。

解：運用Excel對數據進行回歸分析，得到回歸方程和決定係數R平方；

三種檢驗方法雖然各有側重，但在一元線性回歸方程的檢驗中，三種檢驗的作用是相同的，因此對於一元線性回歸方程而言，只要選擇一種方法進行檢驗即可。

範例分析

某個工廠生產運營多年，生產與銷售情況比較穩定。老闆想建立產量與單位成本的數量關係模型。現在收集了之前12年的產量與單位成本資料(如下表)，根據這些資料說明產量與單位成本的數量關係，並通過產量預測單位成本。

立項分析

工廠運營一項很重要的工作就是成本控制。理論上，產品的產量與單位成本之間有內在聯繫。按照成本性質，產品成本由固定成本(折舊、人員工資等)和變動成本(包材、原輔料和水電氣等)構成，其中的固定成本總額在一定範圍內，與產量無關。當產量變動時，單位產品所負擔的固定費用也會變化，從而使單位成本發生變動。因此，產量變化與單位成本由相關關係，但還需要通過數據驗證。

1、散點圖。因為要分析的是產量對單位成本的影響，所以，將產量作為自變量，單位成本作為因變量(回顧：一元(簡單線性)相關分析與回歸分析)。

從圖形上看，產量與單位成本呈負的線性關係，這與實際是相符的。

2、通過相關係數來驗證這種關係(回顧：一元(簡單線性)回歸方程的假設檢驗)。

相關係數可以通過決定係數計算，也可以通過協方差計算，兩者計算結果一致(回顧：一元(簡單線性)回歸方程的假設檢驗)：

從相關係數可見產量與單位成本具有負的高度線性關係，可以建立一元線性回歸方程。

3、建立一元線性回歸方程(回顧：一元(簡單線性)相關分析與回歸分析)

回歸方程表明隨著產量的增加單位產品成本降低。產量每增加100件，單位產品成本下降0.2元。當產量為0時，單位成本是16.45元，是固定成本發生的部分。

4、回歸方程的檢驗(一元(簡單線性)回歸方程的假設檢驗)

回歸方程的檢驗有三種方法(回顧：一元(簡單線性)回歸方程的假設檢驗)，這裡用回歸係數檢驗方法，給定顯著水平0.05，進行檢驗。

5、區間估計(回顧：回歸參數的區間估計)

因為上面計算得到的回歸方程是一個點估計，可以在95%的置信水平下，根據樣本數據估計總體單位成本下降的置信區間。

b的雙側95%置信區間

數據說明，在95%的置信水平下，產量每增加100件，單位產品成本下降0.139~0.261元之間。

單位成本的預測

假設某年計算生產2800件產品，預測單位成本的95%置信區間。

將X=28代入回歸方程，Y=10.85，置信區間為：

計算結果說明，在95%的概率下，當產量為2800件時，產品的單位成本在8.85~12.85元之間。

利用回歸方程進行預測，如果X的取值範圍在樣本範圍之內，則預測相對是準確的。如果超出這個範圍，預測則要小心，因為在樣本數據之外變量所形成的關係可能會發生變化，而不再是線性關係。

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