西安交大優秀博士學位論文欣賞:橢圓偏微分方程的邊界正則性

2020-12-03 校園快報

陝西省優秀博士學位論文評選，是陝西省對高等學校博士學位論文水平和博士人才培養質量評價的一項重要舉措，是全省博士學位論文的高水平集合。同時，也是對陝西省各高校博士學位論文水平的監督和激勵，對激勵博士生科研思維創新能力、提高博士生培養質量具有積極作用。

2014年至今，西安交通大學共獲得「陝西省優秀博士論文」123篇，這是我校研究生教育深化改革和學位授予質量提升的充分體現。

為了給即將或正在進行學位論文寫作的同學們分享「優博」經驗，貼心的小編將為大家持續帶來「優博微享」系列推文，精選出2019年「陝西省優秀博士論文」中的研究亮點和思維創新形式。本次分享的2019陝西省優博士學位論文評選範圍為2016年9月1日至2017年8月31日在西安交通大學獲得博士學位者的學位論文。希望能給同學們的論文寫作提供參考。

論文題目：橢圓偏微分方程的邊界正則性

Boundary Regularity for Elliptic Partial Differential Equations

作者：張凱

指導教師：李東升

學科名稱：數學

論文涉及方向：偏微分方程理論

個人簡介

張凱，2010年進入數學學院攻讀博士學位，研究方向為偏微分方程理論，導師是李東升教授。期間完成論文5篇，分別發表在Journal of Differential Equations，Bulletin of the London Mathematical Society，Manuscripta Mathematica，Proceedings of the American Mathematical Society和Archive for Rational Mechanics and Analysis。另外獲國睿獎學金、郝建學一等獎學金各一次。

讀博感言

讀博士一半靠自己，一半靠導師，正所謂「師傅領進門，修行在個人」。關於自己，一半靠努力，一半靠天賦。

論文研究價值

完善了橢圓偏微分方程邊界正則性理論。特別的，系統地建立了完全非線性橢圓方程斜邊界問題解的存在、唯一性和正則性，填補了這一方向上理論的空白。

論文內容及主要創新點

（1）給出了完全非線性橢圓方程斜邊界問題的黏性解定義，證明了解的封閉性、存在性和唯一性。並且，得到了ABP極值原理，邊界Harnack不等式，C^α正則性，C^(1,α)正則性，C^(2,α)正則性和高階正則性等全面性結果。本工作之前，僅有Neumann問題（本問題的一種特例）的部分結果。另外，本文得到的正則性是「逐點的」，因此是不可改進的。本文的審稿意見是「本文在很大程度上彌補了本領域的空白」。

（2）證明了橢圓方程解在區域邊界的可微性。引入了全新的γ-凸的概念，證明了γ-凸是邊界可微性所需的最佳區域幾何性質，完全解決了與全局邊界可微性相關的橢圓方程理論問題。另外，還得到了逐點可微性，給出了與逐點可微性對應的幾何條件。並且構造一個反例，說明了該幾何條件是不可去的。

代表性成果

Regularity for Fully Nonlinear Elliptic Equations with Oblique Boundary Conditions, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 2018

A note on the Harnack inequality for elliptic equations in divergence form, Proceedings of the American Mathematical Society, 2017

Pointwise boundary differentiability of solutions of elliptic equations, Manuscripta Mathematica, 2016

W2,p interior estimates of fully nonlinear elliptic equations, Bulletin of the London Mathematical Society, 2015

An optimal geometric condition on domains for boundary differentiability of solutions of elliptic equations, Journal of Differential Equations, 2013

圖文來源：西安交通大學研究生院（黨委研工部） 編輯：李靜 田佳昕

校審：蒹葭 苞谷

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