自然科學與工程技術中種種運動發展過程與平衡現象各自遵守一定的規律。這些規律的定量表述一般地呈現為關於含有未知函數及其導數的方程。我們將只含有未知多元函數及其偏導數的方程，稱之為偏微分方程。
方程中出現的未知函數偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階。如果方程中對於未知函數和它的所有偏導數都是線性的，這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱它為非線性偏微分方程。
初始條件和邊界條件稱為定解條件，未附加定解條件的偏微分方程稱為泛定方程。對於一個具體的問題，定解條件與泛定方程總是同時提出。定解條件與泛定方程作為一個整體，稱為定解問題。
各種物理性質的定常（即不隨時間變化）過程，都可用橢圓型方程來描述。其最典型、最簡單的形式是泊松(Poisson)方程
特別地，當 f (x, y) ≡ 0 時，即為拉普拉斯(Laplace)方程，又稱為調和方程
帶有穩定熱源或內部無熱源的穩定溫度場的溫度分布，不可壓縮流體的穩定無旋流動及靜電場的電勢等均滿足這類方程。
Poisson 方程的第一邊值問題為
其中Ω 為以Γ 為邊界的有界區域，Γ 為分段光滑曲線，Ω U Γ 稱為定解區域， f (x, y),ϕ(x, y) 分別為Ω,Γ 上的已知連續函數。
第二類和第三類邊界條件可統一表示成
其中n 為邊界Γ 的外法線方向。當α = 0 時為第二類邊界條件，α ≠ 0時為第三類邊界條件。
在研究熱傳導過程，氣體擴散現象及電磁場的傳播等隨時間變化的非定常物理問題時，常常會遇到拋物型方程。其最簡單的形式為一維熱傳導方程。
方程（5）可以有兩種不同類型的定解問題：
初值問題（也稱為Cauchy 問題）
其中ϕ(x), g1 (t), g2 (t)為已知函數，且滿足連接條件
為第二類邊界條件，否則稱為第三類邊界條件。
雙曲型方程的最簡單形式為一階雙曲型方程
描述，它是雙曲型方程的典型形式。方程（10）的初值問題為
如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一且連續依賴於定解數據（即出現在方程和定解條件中的已知函數），則此定解問題是適定的。可以證明，上面所舉各種定解問題都是適定的。
今天的學習就到這裡，下期偏微分方程我們講講偏微分方程的差值解法。
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