偏微分方程 學習筆記

有一句話叫做「數學是大自然的語言，而偏微分方程則是大自然的語法」，從此足以看出偏微分方程在自然界中的廣泛應用。無論是工程領域，量子領域，還是金融領域等，都有著偏微分方程的影子。偏微分方程理論研究的發展，更是衍生出了一系列新的研究領域，例如金融工程這一學科，開始獨立於傳統的金融學，就得益於偏微分方程應用到了期權定價當中，從而催生出了現代金融理論。偏微分方程這一領域內容豐富，博大精深，在數學系就有一個專門的分流專業就叫偏微分方程，專門致力於研究這一全新的領域，特別是對偏微分方程的理論研究，目前的成果還相對不足，有待進一步擴展。

對於Q Quant而言，最核心的數學問題就在於偏微分方程，這個過程可以分為兩個大的環節，第一是根據資產的特性推導出偏微分方程，第二則是根據數學原理求解偏微分方程，這裡就包括了解析解和數值解，關於偏微分方程的數值解，小編已經有分享兩篇相應的課程筆記，而對於推導出偏微分方程這一步驟，則需要用到隨機積分的理論知識體系(包括隨機分析，測度論，實分析與泛函分析等)，小編的其他筆記推文也有涉及，而這一篇筆記則是講解如何求解偏微分方程的解析解。

能夠求出解析解的偏微分方程非常少，小編學習的也是入門級別的偏微分方程，大部分學校的相關課程則是數學物理方程，小編的建議是，如果致力於偏微分方程的理論研究，則學習數學系的相關課程，而如果偏向於偏微分方程的應用，則可以學習物理系的數學物理方程課程，但從應用的角度上來說，實際問題中推導出的偏微分方程，首先想到的還是應該求數值解而非解析解，如若只要求達到應用偏微分方程的解析解，學習數學物理方程這門課程已經足夠。小編學習的課程是華中師範大學的課(課程連結詳見文末)總體說來講得很細緻，但是在講到熱傳導方程的時候沒有把復變的內容加進來，而小編之所以推薦直接學習數學物理方程這門課，是因為其中包含了偏微分方程和複變函數兩門課的內容，復變也是解決偏微分方程的有力工具，同時學習這兩門課，會更加有助於偏微分方程解析解的學習。