常微分方程的級數解

在科學研究中，經常需要解含有未知函數的導數的方程，這就是微分方程。如果方程中只含有對未知函數的一個自變量的導數，這個方程就被稱為常微分方程，如果方程中含有對未知函數的多個自變量的導數，這個方程就是偏微分方程。求解微分方程的基礎是求解常微分方程，含有任意個自變量的偏微分方程可以通過某種途徑轉化成多個常微分方程。在常微分方程中，最常見的是二階常微分方程，即含有對未知函數的自變量求二階導數的微分方程。在二階微分方程中，二階線性齊次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我們來討論這種最基本的常微分方程。

二階線性齊次常微分方程具有如下的標準形式：

其中對自變量的最高階導數是二階導數，它前面的係數等於1。對於更高階的微分方程，也會寫成類似這樣一種標準形式，它能夠直接告訴我們這個方程的最高階導數項是哪一階導數。在二階常微分方程的這個標準形式中，如果兩個係數在某點都是解析的，該點就叫做方程的常點；如果至少有一個係數在某點不解析，該點就叫做方程的奇點。對於無窮遠點，必須作變換 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用這個結果將對 z 求導數轉換成對 t 求導數。對 z 求一階導數是這樣轉換的：

把它們代入以 z 為自變量的標準方程中，得到一個以 t 為自變量的方程：

就能夠明顯地看出，上述方程具有二階常微分方程的標準形式，只不過自變量由  z 變成 t 吧了：

現在，只要按照前面的方式，考察 t=0 點的特性，就可以對無窮遠點的奇異性做出判斷。

一個簡單的例子是勒讓德方程，這是在科學研究中經常遇到的一個常微分方程，許多微分方程經過一系列數學變換最終都可以化為勒讓德方程：

顯然，在 z=±1 這兩個點，兩個係數不解析。對於無窮遠點，方程的兩個係數具有以下形式：

我們看到，t=0 是其中一個係數的奇點。由此可見，勒讓德方程有三個奇點：z=±1,∞。

另一個例子是超幾何方程。超幾何方程也是在科學研究中經常遇到的一個微分方程：

許多實際的物理方程經過一系列數學變換最終都可以化為超幾何方程。把這個方程寫成標準形式，就得到它的兩個係數：

結果發現，z=0,1 是兩個係數的奇點。對於無窮遠點，兩個以 t 為自變量的係數

我們又得到了 t=0 這個奇點。於是，超幾何方程也有三個奇點：z=0,1,∞。

讓我們回到求解常微分方程的理論問題上去。如果常微分方程

的兩個係數在圓 |z-z₀|<R 內單值解析，則在這個圓內，以下初值問題

有唯一的解，它在這個圓內單值解析。於是，可以把初值點作為展開點，將常微分方程的解在初值點的這個鄰域圓內展開成泰勒級數：

有了這兩個基本係數，把解的級數表達式代入微分方程中，通過比較就可以得到各個係數之間的遞推關係，從而得到唯一的解。