「在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這裡。」——恩格斯
1.引言
如果要評選大學裡最容易掛科的科目，我相信《高等數學》一定榜上有名，網上曾經流傳過這樣一個段子：
1669年，牛頓在劍橋大學升為數學教授。當時學校資金緊張，包括牛頓大部分教職工薪水已欠數月。為解決此問題，牛頓潛心研究創立了微積分，將一門名叫「高等數學」的新科目設為全校的必修課，並規定不及格者來年必須繳費重修直到通過。很快教師們的工資發了下來。
當然，這個段子是虛構的，牛頓當然不可能為了討薪而創立一門新學科。不過我相信，這個段子確實能喚起不少人心中對數學的恐懼。
自17世紀牛頓和萊布尼茲創立微積分以來，數學便完成了由古典數學向近代數學的轉換，經過不斷地發展與完善，便形成了我們今天學習的《高等數學》。
高等數學是大學裡面幾乎所有專業都要學的，只不過有的專業會學得深一些，學到了《數學分析》；而有的專業學得淺，只學習《微積分》。
你喜歡也好，討厭也罷，都不能否認高等數學是最為重要的科目之一。當然它的難度也是相當高的，讓人看得雲裡霧裡的極限定義，紛繁複雜的求導積分，令人頭皮發麻的泰勒公式，以及天馬行空般的中值定理，無不讓每個初學者心有餘悸。
但其實，這些讓你一輩子都不想再碰的東西，早在18世紀就已經有了。而經歷了三個世紀的發展，數學已經到達了高度抽象化的階段，人們發現了一系列前所未有的、違反人類直觀的數學對象。比如其中最著名的魏爾斯特拉斯函數(Weierstrass function)，它是一個處處連續，卻無處可導的函數，它的出現顛覆了人們以往對導數的認識。
一系列新研究對象的出現，使人們意識到了傳統微積分理論的缺陷。二十世紀初，法國數學家勒貝格(Henri Léon Lebesgue，1875～1941)天才般的靈光乍現，提出了一種全新的定義積分的方法，非常完美地解決了這個缺陷。而當今數學家口裡所說的微積分，都是指的這種新型的微積分。對於非數學專業的人，學習的則是舊的微積分。
也就是說，你在深夜自習室裡抱著啃的那本綠皮的同濟版《高等數學》，裡面的內容其實早在100多年前就已經被淘汰了。不得不讓很多小夥伴們，尤其是那些對數學抱有美好憧憬的小夥伴們，心中五味雜陳，但事實就是如此。
那麼，我們學習的那種舊的微積分為什麼會被淘汰呢？新的微積分又是什麼？它和舊的微積分有什麼區別？本篇文章就來詳細介紹一下。
2.勝利
微積分的發明可以說是人類思想史上開天闢地的大事件。18～19世紀，它在各個自然科學裡面都得到了廣泛的應用，極大地推動了人類科學技術的進步。
顧名思義，微積分(calculus)是由微分(differentiation)和積分(integration)兩部分組成。微分面臨的主要問題是：如何求一個函數在某一瞬間的變化率？而積分面臨的主要問題是：如何求不規則曲線圍成的圖形的面積？這兩個問題都得到了完美的解決，二者統一與大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式(Newton-Leibniz formula)中，也稱為微積分基本定理( Fundamental Theorem of Calculus)：
其實，如何求曲線圍成的圖形的面積是一個非常古老的問題，並且古代數學家們為了解決這個問題，已經產生了一些微積分的思想萌芽。比如古希臘的阿基米德，利用「窮竭法」來求解圓錐曲線。以及我國東漢時期的科學家、文學家劉徽，發明了「割圓術」來求圓形的面積，都是這一思想的重要體現。
割圓術的大概思想就是，用正多邊形來逼近圓形。邊數越多則誤差越小，當邊數趨近於無窮大時，極限就等於圓的面積。
這種思想也被包括牛頓和萊布尼斯在內的近代數學家們所繼承下來。我們在求一條函數曲線下方的圖形面積時。用的方法就是把它豎著切割成很多小長條，每一個小長條都是一個長方形，因此它的面積是很容易求的，再把所有小長條的面積加在一起。當小長條的個數達到無限大，換句話說，把整個區間分割成無限細的時候，它的極限就是我們要求的面積值：
1853年，德國數學裡黎曼(Bernhard Riemann, 1826～1866)，對！就是提出「黎曼猜想」的那個黎曼，用精確的數學語言給出了這種方法的敘述。這就是我們在高等數學課本上看到的那個定積分的定義。
簡單來說，對於函數f(x)，其在閉區間[a,b]上圍成的面積。首先把閉區間分割成很多小的子區間，然後在每個子區間上隨便找一點，以這點的函數值為高做一個長方形，這樣這一個小長方形的面積就是這個小段的寬度乘以高。所有小長方形的面積加在一起，再求一個極限就得到了整個函數曲線圍成的面積，用式子寫出來就是：
由於這個式子是黎曼給出來的，因此右邊那個求和式子也被稱為「黎曼和」(Riemann sum)，這種定積分也被稱為「黎曼積分」(Riemann integral)。
不僅如此，牛頓-萊布尼茲公式還給出了計算黎曼積分的方法，即原函數在兩點取值的差。
至此為止，人類在數學上取得了巨大的成功！我們竟然連曲線圍成的面積都會計算了。從此，大到宇宙天體的運行規律，小到原子分子的結構組成，乃至人類社會的組織行為和個人的消費選擇，全部被納入到微積分這個框架之下。之前隱藏在大自然中的奧秘一個一個的被揭露出來，人類僅僅憑藉自己的理性便掌握了上帝創造出來的這個世界的內在規律。因此這套理論的創始人牛頓便被人們譽為「最接近上帝的人」。
人類陶醉於這種精神的巨大勝利之中，因此才有了開頭恩格斯的那段話。
3.陰霾
等等，千萬不要高興的太早！歷史一再提醒我們。
當時，人們在自然科學中接觸的函數基本都是連續函數，而連續函數的定積分都是非常容易求的。即使是有間斷點，那也是有限的幾段，只需要每一段上分別求定積分，最後加在一起就可以了。
而人們對於函數的認識也是比較膚淺的，當時人們覺得，一個函數就是一個y關於x的表達式，而我們也可以自然地畫出它的圖像來。然而這種觀點很快就被打破了。
1837年，德國數學家狄利克雷(Dirichlet, 1805～1859)突破了這個框架，他認為函數就是集合中兩個元素的對應關係，而不必非得有一個表達式，於是提出了函數就是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。我們現在教科書上的關於函數的定義，基本上就是沿襲了這種觀點。
為了說明這一觀點，狄利克雷就構造了一個人們以前從來沒有見過的函數，就是我們現在被稱之為狄利克雷函數(Dirichlet function)的函數，它的函數表達式如下：
這個函數的圖像讓人想想就頭皮發麻：在實數軸上有無數多個密密麻麻的有理數，同時還有無數多個密密麻麻的無理數。因此它的圖像也是如此的詭異：在y=1的地方密密麻麻分布著無數個點，但是因為有無理數的存在，所以這些點彼此又存在無數多的空隙，不能連成一條連續的直線，同樣道理，在x軸上也是如此！這樣的圖像我們想試用筆畫出來是萬萬不可能的。
起初人們只是認為，像狄利克雷函數這種病態函數只是一個思維遊戲，我們理它作甚！但是隨著後來更多的病態函數不斷湧現，人們不得不去思考這類函數的意義與性質。此時數學家驚恐地發現，這類函數徹底顛覆了之前的關於函數的那種直觀想像，它甚至是不可求定積分的！
這究竟是怎麼一回事？就以[0,1]閉區間為例子。我們來反思一下黎曼積分的定義，它是一個極限表達式，而我們在學極限的時候知道，極限有可能是收斂的，也有可能是發散的。
因為有理數和無理數是密密麻麻的排列在實數軸上的，所以一個小區間無論多麼的短，它裡面都包含著無數多有理數和無理數。那麼我們可以進行下面的操作。
第1種方法每個小區間段上，我們取無理數點的值為高，即0，這樣算下來，每個小長方形面積都是0，加在一起自然也是0。
第2種方法每個小區間段上，我們取有理數點的值為高，即1，那這樣算出來，每個小長方形的面積就等於小區間段的長度加在一起就等於0～1的長度，就是1。
所以，就算你的區間段長度趨近於0，但是我們總可以找到一種辦法讓它的取值等於0，同時有另一種辦法讓它的取值等於1，相當於發散成兩個數列。這樣一來它的極限不也就不存在了嗎？
而定積分就等於這個極限，極限不存在就說明定積分不存在。於是人類發現了一個不可求定積分的函數。
數學家不得不把函數分為兩類，一類可以求定積分，稱為「黎曼可積」(Riemann integrable)，另一類則是黎曼不可積。狄利克雷函數就是最典型的黎曼不可積函數。
狄利克雷函數的出現，不僅使人們重新認識了函數這個概念的本質，同時還動搖了人們關於微積分的信心。既然有黎曼不可積函數的存在，那我們這套理論不是白弄了嗎？數學家們的心頭蒙上一層陰霾。
4.曙光
每當遭遇危機，便是英雄出世的年代。此時，我們的英雄——勒貝格，終於出場了。
勒貝格1875年生於法國博韋，1894～1897年在巴黎高等師範學校(cole normale supérieure，ENS)學習。相信熟悉法國科學史的人對這個名字一定不陌生，它是法國最頂尖的大學，誕生了拉格朗日，拉普拉斯，柯西，傅立葉，伽羅瓦，勒讓德等一大批數學大師。勒貝格1902年在巴黎大學獲得博士學位，從此在法國多所大學任教。1922年當選為巴黎科學院院士。
勒貝格最大的貢獻便是改造了傳統的定積分理論，提出了勒貝格測度(Lebesgue measure)和勒貝格積分(Lebesgue integral)這一全新類型的積分。因其在歷史上的巨大貢獻，被人們譽為法國數學界第四個「L」，前三個分別是拉普拉斯(Laplace)，拉格朗日(Lagrange)和勒讓德(Legendre)。
我們來看一下勒貝格是如何解決傳統微積分的困難的。
勒貝格首先分析了像狄利克雷函數這種病態函數黎曼不可積的原因，他認為，問題的關鍵在於狄利克雷函數「震蕩」得太劇烈了，不管你的Δx多麼小，總可以找到兩個y值的差為1，這樣一來自然是黎曼不可積的。
於是勒貝格天才般的轉換了一下思路，我們為什麼要把這個圖形豎著切成長條呢，對於狄利克雷函數，你無論豎著怎麼切都是不可以的。那我們如果橫著來切會怎麼樣？比如下面這個圖形。
對於同一個圖形，上面就是按照黎曼的方法豎著切，而下面便是按照勒貝格的方法橫著切。
可以看出，如果橫著切的話，當小長條的個數無限多，換句話說，當每一個小長條無限扁的話，它們求和的極限也可以等於整個圖形的面積。
這就是勒貝格積分的核心思想。
為了準確定義勒貝格積分，我們還需要一點勒貝格測度的知識。
所謂測度(measure)，具體來講就是幾何圖形範圍的一種度量。比如線段用長度來度量，平面圖形用面積來度量，立體圖形用體積來度量，這些都是一些測度。對於直線上，也就是數軸上，一些簡單圖形的測度是非常好計算的，比如閉區間[a,b]的測度就是b-a，但是對於一些複雜的圖形，比如閉區間[0,1]上所有的有理點所組成的這個數集，它的測度計算就非常困難了。而利用傳統的測度計算方法來計算這個數集的測度，不是無法計算，就是計算出來會產生矛盾。
而勒貝格另一個偉大的創造便是提出了一種計算測度的新方法，即勒貝格測度(Lebesgue measure)，用勒貝格的方法可以方便地算出，閉區間[0,1]上所有有理點組成的數集的測度為0。
於是就可以大致的來說一下，一個函數f(x)在閉區間[a,b]的勒貝格積分是如何定義的。
首先找到f(x)在閉區間[a,b]上的值域，然後把值域分成很多小段兒，每一個小段對應著一個橫的長條。這個長條的寬度其實就是它的勒貝格測度，再用它乘以這個小的高度就可以得到小長條的面積。所有小長條的面積加在一起再求極限，如果極限存在，那麼就稱這個函數是「勒貝格可積」的(Lebesgue integrable)，積分值就是極限值，否則就是勒貝格不可積，這就是大名鼎鼎的勒貝格積分理論。
那麼勒貝格的這套積分理論是否解決了的利克雷函數可積性的問題呢？是可以的，就是說狄利克雷函數是勒貝格可積的。
我們來看一下，按照這種操作方法，我們先在y=0的附近橫著切一個長條，它對應的就是所有無理數，其勒貝格測度為1。在在y=1的附近橫著切一個長條，它對應的就是所有有理數，其勒貝格測度為0。
底下那個長條當高度趨近於無限小時面積也就趨近於0了，上面那個長條因為有理數集的測度為0，因此面積值也是0。
而介於0～1之間的部分，無論你怎麼分割值域，它對應的都是全體有理數測度為0，因此面積也是0。
總體算下來，它的極限值就是0，因此狄利克雷函數在[0,1]區間上是勒貝格可積的，並且積分值為0。
5.新的希望
勒貝格自己就曾對這種新的思想方法做過一個生動的比喻：
假設桌子上放著三摞硬幣，我想數一數一共有多少枚。
傳統的方法是一摞一摞數，第一摞數出來有17枚，第二摞有4枚，第三摞有10枚，於是總共就是31枚。這代表的其實就是黎曼積分。
而勒貝格積分的方法則是，橫著來一層一層數。比如1～4層，每層有三枚，一共12枚。5～10層，每層有2枚，一共也是12枚。11～17層，每層有一枚，一共有7枚，這樣總共算下來也是31枚。
這個例子非常漂亮地揭示了勒貝格積分的思想方法。
講到這裡，估計很多小夥伴會垂頭喪氣：原來在大學課堂上那個虐我千百遍的高數，那個讓我熬夜刷題費了九牛二虎之力才勉強湊了個及格的高數，在100多年前就已經過時了，我們辛辛苦苦，只學了一個被淘汰的東西。
其實大可不必如此，數學家進一步研究發現，但凡黎曼可積的函數，一定是勒貝格可積的，並且它的黎曼積分值就等于勒貝格積分值。也就是說黎曼積分，只是勒貝格積分的一個特例，從這個角度講，我們學習黎曼積分仍然是有意義的。
數學家還發現了另外一個十分驚人的結論：勒貝格可積函數是黎曼可積函數的完備化(completeness)。這句話比較難理解，需要知道一點點關於範數(norm)的知識。範數的知識在我的另一篇文章裡曾經介紹過，連結如下：
只有數才有絕對值嗎？
勒貝格可積函數是黎曼可積函數的完備化，大致的意思是說，函數本身具有範數，函數與函數也可以相加相減相乘相除，因此由函數組成的集合也是具有一定的內在結構的。
而把所有黎曼可積的函數拿出來做成一個集合，這個集合的內在結構是殘破的。但如果把勒貝格可積的函數也放進來，正好就把這個破口堵上了，結構就是非常完備的。這個結論也深刻揭示了勒貝格積分與黎曼積分的內在聯繫。
對於非數學專業的學生，比如工科，經濟學，管理學等等，學習高等數學裡的黎曼積分就夠了。這是因為在自然科學領域和經濟學領域，我們碰到的函數基本都是連續函數，碰不到像狄利克雷函數那種病態函數，所以黎曼積分理論就完全足夠了。
而對於數學專業的學生而言，勒貝格積分是必學的內容。因為在數學研究中，數學家所說的積分，通常默認指的就是勒貝格積分，這是由勒貝格積分相較於黎曼積分的優越性而決定的。
當然，積分理論到此為止了嗎？遠遠沒有。隨著數學理論的不斷發展，數學家們又發現了更多的積分類型，比如概率論中的黎曼-斯蒂爾斯積分(Riemann-Stieltjes integral)等等，在微分幾何和拓撲學中還有更多更複雜的積分形式。數學中有著太多的奧秘，等著我們去探索、去發現。
參考文獻[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE[3] 實變函數與泛函分析基礎(第二版），程其襄，張奠宙，北京，高等教育出版社[4] 實變函數論(第二版)，周民強，北京，北京大學出版社[5] 《數學分析》華東師範大學數學系，第四版，北京，高等教育出版社