導讀
作為一個數學競賽的教練，經常被問到的一個問題是「老師，我想參加數學競賽，大學數學需要掌握到什麼程度呢？」對此，我的回答比較出乎意料，「數學競賽其實幾乎用不到多少大學裡的數學內容，有所了解即可；反而是參加物理競賽，需要精通微積分，畢竟CPhO（全國中學生物理競賽決賽）別名全國中學生微積分大賽。
01物理競賽中的數學
雖然只是調侃，但從中也能看得出來微積分在物理競賽中的重要性。
對此，也不難理解，數學是描繪自然科學的工具，物理裡很多複雜的公式都是通過微分或積分的形式表達的，比如我們或許都聽說過的麥克斯韋方程組，以一種近乎完美的方式統一了電和磁，描述了經典電磁學的一切，它實際上就是一組一階線性偏微分方程。
積分形式下的麥克斯韋方程組
物理和數學的關係一向是如此緊密，相輔相成的。在不同的物理學習階段，需要掌握、運用的數學知識也不一樣，以高中物理和競賽物理做對比：
高中物理搭配的是高中數學，高中數學學的不錯的同學在高中物理的學習中就不會遇見運算上的問題，學習的主要難點只在於物理分析。我們可以一起來看一下今年高考物理的壓軸題，考察的是帶電粒子在勻強電場中的運動，題目本身難度很大，其中用到的數學知識有①初中平面幾何、②高中三角函數、③高中解析幾何，但這些數學內容相比高考數學的難度就不值一提了。
競賽物理很大一部分內容是大學物理，所以這個時候高中數學就不夠用了，需要更高深的數學知識——高等數學，無論是物理規律還是題目中的物理方程，都常用微分或積分的形式來表達。物理競賽的大綱明確指出微積分初步及其應用為複賽（決定省隊、省一省二等獎項的歸屬）和決賽（決定國一、國二、國三的歸屬）必考內容。
我們可以一起來看一下今年物理競賽複賽第一題的試題部分解析，除了讓人咂舌的複雜公式，另一個顯著特點就是微商（即導數）的多次應用。只學過高中數學的同學面對這樣的題目一定是會崩潰的，會物理能分析物理過程，但數學不好不能列方程，勉強列了也不會解。
高中課內物理和高中物理競賽的對比如下：
我們也收集整理了一下最近5年物理競賽的複賽和決賽裡微積分考察的情況：
從這個表格可以看得出來，最近5年物理競賽對微積分的運用考察頻率是非常高的，複賽裡平均佔比36.4%，決賽平均佔比44%，考試難度越大，微積分的題目比例也就越高，很多時候微積分的掌握情況就決定了最後的獎項。
所以對於想參加高中物理競賽的學生來說，如果目標是省一，那麼必須熟練掌握競賽大綱裡的一元微積分及微分方程（相當於高等數學的上半部分）；如果想要達到更高的層次，進入省隊拿到國獎，那麼還需要掌握多元函數的微分學，熟練運用重積分、曲線積分、曲面積分等（意味著需要完全刷完大學裡的高等數學教材）。
02如何學習物競裡的數學
以北京大學為例，一般理科院系所學的高等數學（B）是在大一的上、下學期開設，共10個學分，每周4個課時的正課、2個課時習題課，兩學期32周共計192個課時。在經過如此漫長的學習後，一般才能說高等數學掌握得還可以了（有的老師可能還推薦課後把吉米多維奇、卓裡奇習題集刷完）。
然而數學的學習和物理還是有區別的，數學更注重嚴謹性，強調結論的證明；而物理更看重應用，允許誤差範圍內的近似解。所以如果只是要掌握物理競賽裡要求的數學工具，其實並不需要那麼久。對於已經基本掌握了高中數學的學生，我們建議，可以購買同濟大學的高數教材及習題集，部分內容可以跳過（如無窮級數、傅立葉變換與傅立葉積分）按照以下節奏去練習例題，並抽出一定時間完成課後習題：
課程介紹
為了幫助大家在物競的學習上更進一步，不被數學拖後腿，我們在寒假特意增開了一個物競中的數學工具班，上課時間在2月17號-20號的晚上，4次課共12課時，選取了高等數學裡最重要且常用的部分（可覆蓋物理競賽複賽裡絕大部分高等數學知識），其大綱如下：
授課老師：曾繁
授課老師為曾繁老師，畢業於北京大學，所教班型含高中數學和初中數學高端班型，課程風格嚴謹且幽默，功底紮實，連續多次獲樂學全國高中數學功底測前二。
Q1
什麼樣的學員適合報讀本課程？
A1:物理已經學到高中內容，希望及早接觸高中競賽內容的初二、初三學員；
例如樂學物理S組（A組）、xes物理興趣小組等班型。
Q2
三期晚上已經排了課，請問能開線上課嗎？
A2:廣州樂學所有課程均已支持OMO功能，線下課也可以在家看同步直播，無限次觀看回放視頻。
Q3
此課程有講義嗎？有對應的練習題或者輔導書嗎？
A3:數物兩科競賽教練聯合研發的課程，配置系統的講義。
據了解，樂學教育集團自2014年成立以來，打造了樂學高考、樂學線下學習中心、樂學培優、樂學在線等品牌，並在2019年完成收購了高考美術專業藝考輔導品牌——新意新象畫室，針對全國不同年齡、不同地域、不同學習需求的孩子，提供教育服務。
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責任編輯：kj005
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