2011年「希望杯」複賽真題及答案詳解(四年級)

1. 原式=(70+90)÷4÷4=10。

2. 原式=1000+10000+100000+1000000-102×4=1111000-408=1110592。

3. 原式=(2×3+3)⊙(2×4-2)=9⊙6=9×6+6=60。

4. 97倍是偶數，所以原數是偶數。因為被5整除，所以個位數字是0。
十位數字不小於6，可能是60，70，80，90，其中不被3整除也不被4整除
的只有70。

5. 首先觀察到第一行是2，4，6，8，根據第一列和第三列，相等的商都是
3，進而可推出數表如下：
2 4 6 8
6 12 18 24
18 36 54 72
54 108 162 216
a+b×c=108+72×6=540。

6. 它的3倍與4的差是10的倍數，也就是說它的3倍的個位數為4，原數的個位數
為8。它的4倍與15的差在60與100之間，也就是說它的4倍在75與115之間，
原數在19與28之間，所以原數為28。

7. 千位有4種方法，百位有1種方法，十位有5種方法，個位有5種方法，所以
有4×1×5×5=100個。

8. 顯然最多只能剪下4個直角邊為6的等腰直角三角形，所以剩餘部分的面積
為12×8-2×6×6=24平方釐米。

9. 如果除數為9到6，餘數為1到4；如果除數小於等於5，餘數也至多為4。
所以餘數的和為0+1+2+3+4=10。

10. 每袋裝7個蘋果和3個梨，如果要想裝完梨，還需要12÷3×7=28個蘋果。
所以兩種裝法之間相差4+28=32個蘋果，共有32÷(7-5)=16組，所以共有
16×3=48個梨，16×5+4=84個蘋果，共有48+84=132個。

11. 基本三角形有6個，由2個基本三角形組成的三角形有3個，
由3個基本三角形組成的三角形有6個，還有一個大三角形，所以共有
6+3+6+1=16個。由於基本三角形的面積都相等，所以有4種不同取值。

12. 分兩種情況討論：
第一種：A和B過，A回，C和D過，B回，A和B過，共用4+3+6+4+4=21分鐘；
第二種：A和B過，A回，A和C過，A回，A和D過，共用4+3+5+3+6=21分鐘。
所以，至少需要21分鐘。

13. 摩託車與汽車的速度比為120:180=2:3，所以，
所求答案為2×2÷(3-2)=4小時，第二個條件是多餘的。

14. 設三個和分別為3a，3a，a，中間數為x，則七個數之和再加上2x
就等於7a，也就是說2x+132=7a。2x+132為7的倍數，也就是說x+66為
7的倍數，x被7除餘4。
這裡面有11和18被7除餘4，對應a為22和24。經檢驗，前者可以，後者不可以。

15. 各題答錯的總人次數為7+10+14+9+20+17+28+25+22+41=193，
每有一個人不及格，則他至少答錯5題，193÷5=38……3，所以至多
有38人不及格，至少有62人及格。
為說明是可以的，注意41正好比38多3，所以這38個人全都在第10題上
答錯，剩餘的答錯次數恰好平均分配到其他9題上：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
全對 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59
只有最後一題錯 3 3 3 3 3 3 3 3 3
不及格的人 20 20 20 20 20
9 9 9 9 9
4 4 4 4 4
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
總共 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59

16. 乙要想能看到甲，必須在同一個"凹槽"裡面才行。
甲每4秒爬一條邊，乙每5秒爬一條邊。
甲所在的時間段 乙所在的時間段 乙能看到甲的時間
第一個凹槽 0秒~4秒 0秒~10秒 4秒
第二個凹槽 4秒~12秒 10秒~20秒 2秒
第三個凹槽 12秒~20秒 20秒~30秒 0秒
第四個凹槽 20秒~28秒 30秒~40秒 0秒
第五個凹槽 28秒~36秒 40秒~50秒 0秒
所以，乙能看到甲的時間共為4+2=6秒。