2011年「希望杯」複賽真題及答案詳解(六年級)

1. 原式=3.625+0.(45)-1.(36)=2.625+(1.(45)-1.(36))=2.625+0.(09)
=2.715(90)。（這裡用括號代替表示循環節）

2. 後一部分等於(4×1.5)÷(4+1.5÷3)=4/3，而0.(36)=4/11，
所以原式=(2×4/11+4/3)÷(4/11+2×4/3)=(2/11+1/3)÷(1/11+2/3)
=17/25。

3. 第二個圖形比第一個圖形多9根火柴，第三個圖形比第二個圖形多13根火柴，
經嘗試，第四個圖形比第三個圖形多17根火柴，而最下面一層有15根火柴
的是第8個圖形，所以共需要火柴4+(9+13+17+21+25+29+33)=151根。

4. 因為奇數個連續自然數之和等於中間數乘以數的個數，所以N能被3和11
整除，也就是能被33整除；
因為偶數個連續自然數之和等於中間兩個數的平均值乘以數的個數，所以
N等於一個整數加上1/2再乘以12，也就是被12除餘6，最小為66。
66可以表示成0到11的和。

5. 4m+5=5n+4，也就是說4(m-1)=5(n-1)，如果m-1=5，n-1=4，則m=6，n=5，
但此時n進位中不能出現數字5；如果m-1=10，n-1=8，則m=11，n=9，
符合題意。

6. 1949+60=2009，而2009年是己丑年，所以1949年是己丑年。

7. 每次摸出的結果可能是兩個球顏色相同，有3種可能；或顏色不同，也有
3種可能，共6種可能。最不利情況是每種可能各出現4次，則再摸一次就
保證有5次相同，6×4+1=25。

8. 相當於分別從1和1002處以2:5的速度比進行相遇問題，
(1002-1)÷7×2+1=287。

9. 連接兩個正方形的"＼"的對角線，發現它們平行，所以陰影部分的面積
就等於一個扇形的面積，為15×15×3÷4=675/4。

10. 總共價格為n^2元，最後乙付說明n^2的十位數字為奇數，所以個位為6，
乙最後一次付了6元，應該給甲2元。

11. 前5位隊員的平均身高比前8位隊員的平均身高多3釐米，也就是說，加入
第6~8名後，平均身高減少了3釐米，因此第6~8名的平均身高比前5名的
平均身高少3÷3×8=8釐米。
第9~23位隊員的平均身高比第6~23位隊員的平均身高少0.5釐米，也就是說，
加入第6~8名後，平均身高增加了0.5釐米，因此第6~8名的平均身高比第9~23名的
平均身高多0.5÷3×18=3釐米。
因此，前8名的平均身高比第9~23名的平均身高多8-3+3=8釐米。

12. 根據對稱性，丙先帶誰沒有區別。設先帶甲，返回接乙。
設乙步行的路程為x，丙騎車返回的路程為y，甲步行的路程為z。
乙比騎車從A地到B地多用時間x(1/5-1/12)，甲比騎車從A地到B地多用時間
z(1/4-1/12)，丙比騎車從A地到B地多用時間2y/12。
這三個相等時，x:y:z=10:7:7，所求路程比為7:10。

13. 車速提高20%，也就是變成原來的6/5，則時間變成原來的5/6，
減少25分鐘，原定時間為25×6=150分鐘；
車速提高25%，也就是變成原來的5/4，則時間變成原來的4/5，
減少10分鐘，則這段路程的原定時間為10÷5=50分鐘。
因此，原速行駛100千米需要150-50=100分鐘，
距離為150÷100×100=150千米。

14. 兩次的空白部分體積相等，而第二次的空白部分的橫截面積為第一次的
1-1/8=7/8，所以第一次的空白部分的高度為第二次的7/8，即7釐米。
正方體的底面積為20×20=400平方釐米，所以圓柱體的底面積為400÷8=
50平方釐米，高度為20-7=13釐米，體積為50×13=650立方釐米。

15. 全勝的隊得7分，而最後四隊之間賽6場至少共得6分，所以第二名
的隊得分至少為6分。如果第一名全勝，則第二名只輸給第一名，得6分；
如果第二名得6.5分，則第二名6勝1負，第一名最好也只能是6勝1負，
與題目中得分互不相同不符。所以，第二名得分為6分。

16. (45,80)→(45,35)→(10,35)→(10,25)→(10,15)→(10,5)→(5,5)。
這就是用輾轉相除法求最大公約數的運算，所以兩個四位數的最大公約數
為17，9999÷17=588……3，所以最大的四位數是9999-3=9996，第二大的
四位數是9996-17=9979，和為19975。