國際著名應用數學和力學家、教育家和社會活動家，中國科學院和波蘭科學院院士、上海大學校長錢偉長先生今年已94歲高齡。錢老在其大半個世紀的學術生涯中，與時俱進，不斷創新，成就卓著，在科研和育人上都做出了突出的貢獻，使他早已成為公認的我國近代力學的奠基人之一[1,2]。不僅如此，錢老還是世界奇異攝動理論當之無愧的奠基人之一，這個結論是筆者在4年前應美國維吉尼亞州立理工大學高揚教授之邀為其主編的《獻給錢老90壽辰》專集[1]撰寫的一祝文時鄭重宣布的。為此，我曾用近3個月的時間集中對大量有關文獻進行了深入的領會、分析對比，並對時序做了仔細的考證。下面著重介紹錢老在這方面的主要成就。
1 攝動理論
1.1 正則攝動理論
1947年錢老創建了以中心撓度(與板厚h之比)wm為攝動參數作漸近展開的攝動解法，第一次成功地求得了園薄板大撓度von Karman非線性微分方程的級數解。此法有下列幾個創新特點：
(1)與通常都選已知參數為攝動參數的慣例相反，本文所選的攝動參數wm本身是未知的。這樣做的優越性是顯著改善了級數的收斂性。為了說明這一點，讓我們分析撓度w的展開式：
對於周邊為固夾和簡支的情況，利用中心點(η＝1)處的邊界條件，可立即由(1)式得知，在中心點有w(1)=wm。可見，在中心點上，無論wm多大，展開式(1)只存在第一項(線性項)，其它所有wm的高次項都消失，這說明選取wm為攝動參數是非常明智的，它使漸近展開式有很好的收斂性。如果按Vincent(1931)改選無量綱外載壓力參數p為攝動參數，則撓度的攝動展開式將是：
對於周邊簡支的情況，在中心處有：νi1≠0，i＝012……因而w同p是非線性關係，這正體現大撓度下的幾何非線性。顯然，展開式(2)的收斂性就比錢老的展開式(1)差。本方法在前蘇聯被廣泛引用，並被稱為錢氏攝動法。
(2)錢老選的攝動參數wm根本就不出現在von Karman大撓度方程及邊界條件中。這使我們想到它同人工參數攝動法很類似，但通常人工參數並無物理意義，而錢老引入的參數wm卻具有鮮明的物理意義。
(3)錢氏攝動法的結果也可以用下列重整化法得到：先按Vincent(1931年)以p為攝動參數求得(2)式，以η＝1代入，得到wm的展開式，然後對它進行反演，即可得到
將它代入(2)式消去p，即得錢法的展開式(1)。
(4)我們也可以把(2)式看成是應用參數變形法的結果，不過，為了得到錢法的結果，還必須對(2)式反演出(3)式和(1)式。因此，錢老的攝動法應看作「參數變形法的反演」。
錢氏攝動法的上述特點(尤其是第⑴、⑵點)大大拓廣了人們選擇攝動參數的眼界和技巧，充分體現了錢老突出的創造性，使攝動法的研究推進了一大步，其結果同McPherson, Rumberg和Levy(1942年)的實驗數據非常吻合。
1.2 奇異攝動理論
當板殼撓度非常大時，上述攝動解會遇到收斂的困難，錢老接著於1948年又深入研究了在這種情況下固夾園薄板受均布負荷的問題，即後來稱作奇異攝動問題的典型類型之一。他首先發現這裡存在邊界效應(類似於流體邊界層)，在板的外邊界狹小鄰區內，撓度w的變率很大，傳統的(正則)攝動法失效，為了看清那裡的變化，他提出使用「放大鏡」，即引用新的放大坐標β，把漸近解分解成兩部分之和，例如將撓度w寫成：
其中F是以原坐標η和負荷參數τ(與p1/3成比)表示的外區撓度，G則是用放大的新坐標β和τ表示的邊界層內撓度修正項，F和G都被展成τ的級數。首先對外區展開，用η＝0處邊界條件得外區攝動解F，其中第一項就是Hencky的薄膜解；接著將(4)式代入微分方程，再利用η＝0處邊界條件可得邊界層內區的修正展開式，而合成展開式(4)就是在全區內都適用的漸近解。這就是錢老首創的合成展開法，它比Prandtl的匹配展開法在構思上和數學技巧上都有顯著的突破和創新，而且非常有效，其結果同實驗非常吻合。國際上類似的方法(例如E. Bromberg)到1956年以後才出現，即比錢法至少遲了8年。
眾所周知，邊界層型的奇異攝動理論起源於1905年Prandtl的匹配漸近展開法，後來的發展主要有：1948年錢氏的合成展開法，1949年Lighthill(或PLK法)變形坐標法，1964年Van Dyke的高階匹配原則。顯然，其中錢法提出最早，因此，錢老應當是Prandtl之後最早對奇異攝動理論做出突出貢獻的科學家。應當指出的是：Lighthill法只宜用於雙曲型方程(他本人也承認這一點)，而錢法至少對橢圓型方程(例如薄板問題)是有效的。
此外，前蘇聯學者Lusternik等於1957年提出了邊界層修正法，並得到廣泛應用，但我們不難發現，其基本思想同錢氏的合成展開法非常相似，但比錢法已晚了9年!
1985年，錢老同陳山林合作又對合成展開法進行了下列改進：①改用薄板中心撓度wm為攝動參數，從而大大提高了收斂速度；②所有邊界條件都在各級近似中滿足，並改進了結果的可靠性。
1947年錢老在求解超聲速錐體繞流問題時，以Karman-Moore的線化解為一次攝動解，求得了以錐角ε及其下列組合為攝動參數的漸近級數解。
一般講，要找出(5)式這樣的參數組合是很不容易的，但錢老巧妙地通過Karman-Moore線化解的展開式找到了它們。接著，將它們看成6個具有不同尺度的參數(依次記作λ1，λ2，……，λ6)，將未知解φ展成多重尺度λi的級數。
可以看出，該方法同後來(1962年)Mahony首先提出的「多重尺度法」基本思想十分類似，不同的是錢老利用了多重尺度的攝動參數，而不是多重尺度的坐標，所以錢法可稱為「參數多重尺度法」。
由上述事實和分析雄辯地證明，錢老不論對奇異攝動理論，而且對薄板大撓度理論都做出了世界領先的重大貢獻，是世界奇異攝動理論當之無愧的主要奠基人之一。這項成果曾獲國家自然科學獎二等獎(1955年)。
2 彈性板殼統一的內稟理論
1941年以前，彈性板殼理論中採用了各種各樣的近似簡化條件，割斷了同三維彈性力學理論的聯繫，局面相當混亂，很難對它們的合理性和準確性做出統一的對比和評價。例如，不但把板與殼分開處理，而且薄殼也按其幾何形狀不同而採取不同的近似方法處理。一般都是從板殼的二維單元出發，建立其宏觀內力素的平衡方程，再採用Kirchhoff-Love 3條假設來決定內力素同中面應變的關係，從而導出3個未知中面位移分量應滿足的3個平衡微分方程。錢老早就對這些近似板殼理論深感不滿，並於1938—1939年在國內時即已開始對此問題進行了全面的革新研究。他首次應用微觀應力應變關係將三維彈性力學平衡方程改寫成以應變張量來表示的形式，同時，採用拖帶坐標系(x0, x1, x2)(其中x1與 x2為中面上的高斯坐標系，而x0則與中面正交)，通過張量分析，導出了以中面拉伸張量pαβ(α，β=1，2)和彎曲張量qαβ來表示的3個平衡方程和3個協調方程，從而建立了板殼精確的微觀通用內稟理論。
當錢偉長第一次進謁(1940年9月)其導師Synge時，發現他們兩人都在研究同一個問題，只不過Synge研究的是板殼宏觀內稟理論，即導出用板殼各內力素(內力和內力矩)張量表示的(宏觀)平衡方程。按照Synge的建議，這兩種內稟理論被合寫成一篇論文，發表在von Karman 60壽辰祝賀文集中。值得特別指出的是該文集只收編了21篇論文，其作者(共26人)，除年僅29歲的錢偉長外，都是當時世界權威學者(其中有A. Einstein, von Neumann, von Mises, R.Courant和S. Timoshenko等)，這大大激勵了錢偉長攀登科學高峰的勇氣和信心。這篇文章發表後，頗受學術界的重視，例如荷蘭力學家Rutten教授對它做了高度評價。在上世紀50—60年代，這篇文章曾多次被美國和前蘇聯等國的學者(如E.L. Reiss, H.M. Mushturi和A.S. Wolmir等)引用。
隨後(1942年),錢老在其博士論文中繼續深化和發展了他的微觀內稟理論，主要貢獻有：①按板殼厚度和曲率的量級分析來進行系統分類，得到不同精度的12類薄板和35類薄殼問題，它們各由6個方程(含pαβ和qαβ)所描述。它們不但包涵了常見的小撓度方程和一些已知的大撓度方程，而且還含有不少很具有實用價值的新方程，其中尤以扁殼方程最為重要，它和圓柱殼方程一起被廣泛稱為「錢偉長方程」。②將三維微觀平衡方程沿板殼厚度進行積分，就導得了以內力素表示的宏觀平衡方程，從而把Synge的宏觀理論和錢老的微觀理論完全統一了起來。6年以後(1948年)，C. Truesdell才獨立完成了內容相似的文章。③對板殼的邊界效應做了深入分析，其後來在60年代推動了不少有關三維理論的邊界效應問題的研究，其中包括著名的A.E. Green, E. Reissner 和P. Cicala等人的工作。
總之，錢老的板殼內稟理論是國際上首次建立的嚴格、統一和精確的理論，它將板殼理論推進到一個新的發展階段。上述論文曾經是美國20世紀40—50年代應用力學研究生的必讀文獻，他的貢獻對以後的研究工作有很大影響。甚至A.C. Eringen在開始進行理性力學的開創性工作時，也從錢老的板殼內稟理論中得到過啟迪。
3 廣義變分原理與有限元法
早在1964年錢老就提出了建立廣義變分原理的系統性方法，他從彈性力學的勢能原理和餘能原理出發，利用Lagrange乘子法把變分約束併入變分泛函中，接著由泛函的駐值條件來唯一地識別乘子，從而嚴格地導出了廣義變分原理，於是徹底改變了此前只能靠先驗的湊合法來建立廣義變分原理的落後面貌。這個方法具有通用性，並不限於彈性力學，無疑對廣義變分原理的發展是一個重要的貢獻。遺憾的是該文投給《力學學報》後，因審查人對Lagrange乘子法的誤解而未能發表。後來Washizu(1968)和Zienkiewicz(1977)才對此作了論述，但比錢文已晚了很多年。1979年改革開放後，錢老才得將該文正式發表，並因此獲國家自然科學獎二等獎(1982)。
錢老於1983年又發現，例如，當採用Lagrange乘子法試圖從Hellinger-Reissner變分原理推導出廣義變分原理時，乘子被識別恆等於零，從而無法消除應力應變約束，也就不能建立廣義變分原理，他稱這種現象為臨界變分狀態，並為消除這種現象而創出了「高階Lagrange乘子法」，從而成功地把Hellinger-Reissner變分原理和Hu-Washizu廣義變分原理推廣成相應的更普遍的廣義變分原理。這是錢老對廣義變分原理做出的另一突破性貢獻。
1987—1988年錢老在非線性(物理的和幾何的非線性)彈性力學的變分原理研究方面又取得了重要成果：①首次建立了大位移非線性彈性力學的餘能駐值原理，這是一個公認的難題。②運用上述高階乘子法，成功地建立了廣義變分原理族。
此外，錢老還在流體力學和磁場理論中的變分原理方面得出了新的成果。例如他在適當的簡化約定下，應用加權餘量法建立了粘性流體Navier-Stokes方程的廣義變分原理和極值功率消耗原理；建立了三維各向正交異性非線性靜磁場的各種變分原理，特別是其中的餘能原理及其派生廣義變分原理族以前從未見諸文獻。
錢老對有限元法本身也有不少創新，例如，他利用Lagrange乘子把相鄰單元分界面上的連續條件轉化為自然界麵條件，這樣既縮減了自由度，又簡化了剛度矩陣。這是對非協調雜交元的一項重大改進。他又創建了一個使一致質量矩陣對角化的新方法，為計算動力學問題(撞擊、振動等)提供了一個很有效的方法。
4 其它學術貢獻
除上述三項最主要貢獻外，錢老在環殼理論與應用、變扭的扭轉問題、漢字信息處理(錢碼)、三角級數求和法、二維葉柵出流角的保角變換解法以及薄板壓延理論等方面也都有重要研究成果。
應當指出，錢老之所以能在科研上取得如此廣泛而卓越的成就，是同他對教育、教學、治學、教學與科研、教書與育人、學校與社會等問題都有一套精闢、獨到而完整的思想和觀點分不開的。 上世紀50年代錢老在參加制定12年國家科學技術發展遠景規劃時，周恩來總理曾將他和錢學森、錢三強一起讚譽為「三錢」。
可惜限於篇幅，在此不可能對這些貢獻一一詳述，建議參考文獻[1,2]。
5 結語
以上的簡略介紹已足可表明錢老是一位學術造詣精深、才華橫溢、既具有戰略眼光和超前意識，又勤奮務實，是當之無愧的中國近代力學和應用數學的奠基人之一，也是國際上奇異攝動理論的奠基人之一；他在板殼非線性內稟理論方面的經典性著作已經成為該領域發展史上的一個裡程碑。在教育領域，他通過半個多世紀不懈的努力，培養了中國一代又一代的優秀科技和教育人才，對中國科技和教育事業的發展必將產生深遠的影響。錢老雖然歷經坎坷，但他始終處變不驚，以自強不息、創新不止的精神，堅持科研與教學工作，從來沒有動搖過對祖國對人民的深愛。我們在此衷心祝願錢老健康長壽，繼續引領我們在科教興國的徵程上不斷取得新的成就。
主要參考文獻
1 Liu Gao-Lian. Wei-Zang Chien and his contribu-tions to applied mathematics and mechanics. Complementarity, Duaity and Symmetry in Nonlinear Mechanics(Proc. IUTAM Symp.ed. by David Y. Gao), Boston: Kluwer Acad. Publ., 2004,xxi-lvii.
2 談鎬生等.祝賀錢偉長院士90壽辰專刊. 力學進展， 2003，33(1).