一粒沙子以光速擊中地球會有什麼後果?

一粒沙子看起來十分不起眼，普通沙子的直徑僅為0.9毫米，其質量只有1毫克。如果一粒沙子以光速擊中地球，結果會怎樣呢？

事實上，沙子撞擊地球的事件十分普遍，每天都在上演。太空中遍布著大量與沙子差不多大小的巖石微粒，它們會被地球的引力吸引過來，與地球發生相撞。

由於地球有稠密的大氣層，當這些太空微粒以每秒十幾公裡的速度撞上地球時，它們會在大氣中劇烈燃燒殆盡，成為一閃而過的流星。據估計，每天有2500萬顆太空微粒進入大氣層，它們都會在高空燒毀，不會到達地面。

如果地球沒有大氣層，一粒沙子撞上地球會造成多大的破壞呢？

考慮一粒沙子從相對於地球靜止開始落向地球，那麼，它的引力勢能會全部轉變為動能：

由此可以算出沙子撞擊地面時的速度為11.2公裡/秒，這個速度剛好與第二宇宙速度相等。

這並非是巧合，因為第二宇宙速度的定義與之相反。地球上的物體以某一初速度無動力擺脫地球引力束縛，逃脫到無窮遠的地方，把所有動能轉化為引力勢能，由此算出的速度即為第二宇宙速度。

計算可知，沙子撞擊地面時，其動能約為63焦耳。這個能量對於地面的破壞很有限，但足以對被擊中的地球生命造成一定傷害。

如果沙子的速度可以達到光速，其動能約為4.5×10^10焦耳，相當於10.7噸TNT當量。當沙子撞擊地球大氣層時，將會發生一定規模的空中爆炸，不會威脅到地面。

要知道，人類曾在太空中引爆的氫彈當量為150萬噸TNT，2013年在30公裡空中爆炸的車里雅賓斯克隕石的當量為45萬噸TNT，只有這種級別的爆炸才有可能波及到地面。

不過，這個問題並沒有那麼簡單，因為以光速運動的沙子不止那麼些動能，它的動能其實是無窮大的。原因在於上述經典物理學只適用於宏觀低速的情況，在接近光速時，相對論效應會變得非常顯著，由此會帶來很大的變化。

根據狹義相對論，物體的動能（E）表達式為：

其中m0為物體的靜質量，v為速度，c為光速。

如果只是涉及到生活中的一些運動現象，速度很低，可以對上式進行泰勒級數展開，然後進行簡化：

這樣就能得到我們在中學物理中所學的動能表達式。這個公式很簡潔，而且在低速情況下精度很高，所以經常被我們使用。

但如果速度接近光速，就只能用相對論。從相對論公式中可以看到，一旦沙子的速度達到光速，分母變為0，這意味著沙子的動能為無窮大。如此的動能會把包括地球在內的整個宇宙摧毀，儘管只是一粒小小的沙子。

但在數學中，分母為0，分子不為0的情況是沒有意義的。也就是說，靜質量不為零的沙子不可能被加速到光速。只有當靜質量為0時，表達式變為0/0型未定式極限，這在高等數學中可以求解，所以只有光子這樣無靜質量的東西才能以光速運動。

不過，當速度足夠接近光速時，沙子的動能也會變得極大。它擊中地球時將會釋放出巨大的能量，只要超過地球的引力結合能，就能摧毀地球。《三體》中摧毀恆星的「光粒」就是基於這樣的原理。

最後，需要強調的是，愛因斯坦的動能公式絕非臆想出來的，而是從狹義相對論中嚴格推導出來的，並且世界上的各種粒子加速器都能證明其正確性。除了這個公式之外，著名的質能方程也是出自狹義相對論，而質能方程的成功無需贅言。