所以,到底為什麼不能除以零?

2021-03-01 果殼

那麼吸取教訓，我不用現成符號了，我直接定義 1 / 0 = w，w是個「無限大」的數，不碰什麼極限，你總沒話說了吧！

然而，定義不是說來就來的，你雖然可以隨便定義東西，但定義完了如果和現有的其他系統矛盾，那就不能用，或者很不好用。

而我們面對w立刻就遇到了問題。首先，w要怎麼放入基本的加減乘除體系裡？1 + w等於多少？w - w等於多少？如果你造了一個數，卻連加減乘除都不能做，那就不是很有用對吧。

比如直覺上，1 + w 應該等於 w，它都無限了嘛！ 而 w - w 則等於0，自己減自己嘛！

但這樣立刻會和加法裡極其重要的「結合律」產生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。結合律是加法裡非常基本的東西，為了一個w，連結合律都不要了，這成本有點大——不光是結合律本身，多少數學定理證明過程中不自覺都用了它，扔了它就都得重來，建立新體系。新體系不是不能建，但是費心費力又（暫時）無卵用，所以大家還是在老實用舊的——而舊的裡面，為了保住結合律，就不能這麼玩。

歡迎讀者們發揮自己的想像力，嘗試為 w 給出運算方式。但是你會發現，無論怎麼規定w和別的數字之間的關係，只要你還堅持 1 / 0 = w，你就沒法讓它和你從小學習的基本數學不矛盾。還是那句話，你可以另立門戶，在w的基礎上建立起你的新數學，但它和大部分傳統數學是不相容的，而且肯定會非常不好用，所以我們用了一個不能除以零的體系是非常合理的。

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