為什麼不能除以0?

說出來你可能不信

但這是真的

今天學習了除法的表妹跑來問我：為什麼不能除以0？

就這個問題，我專門請來了高冷的Siri。

同樣是數字，0為什麼就會這麼慘呢？

小學生

小學老師會直接給你來一句：別問，問就是沒意義！

怎麼理解？

我們說1÷2可以理解為1個東西分成2份。

同樣：1÷3可以理解為1個東西分成3份。

但是：1÷0可以理解為1個東西分成0份。

就是說，你啥也不用幹！那啥也不用幹，你為什麼還要除以0呢，所以沒意義。

這結論沒錯，但這麼嚴謹的數學學科，怎麼解釋的一點逼格也沒有呢？

初中生

所以，接下來超模君稍微認真點。

首先，除法起源於乘法，乘法的逆向運算。說這個有什麼用呢？因為面對除法式子，我們可以把它轉化為乘法式子。

比如在被除數不為0的時候：

1÷ 0 = ？

我們可以理解為乘以一個數等於1，但是常識告訴我們不可能，因為0乘以任何數都是0。

另外，當被除數是0的時候：

0 ÷ 0 = ？

我們可以理解為0乘以一個數等於0，嗯，沒錯啊，因為0乘以任何數都是0。

但到底是什麼數啊？這意味著 0 ÷ 0有無數個答案，根本無法確定。

高中生

當然，我們可以換個角度想想，用武林中失傳已久的方法：反證法！

首先假設可以除以0，那麼任何一個數除以0之後就一定會有一個結果出現。我們用不同的字母代表可能會出現的結果。比如：

1 ÷ 0 ＝ a

2 ÷ 0 ＝ b

3 ÷ 0 ＝ c

……

因為除法是乘法的逆向運算，我們可以得出：

1 ＝ a × 0 ＝ 0

2 ＝ b × 0 ＝ 0

3 ＝ c × 0 ＝ 0

……

進一步可以推出，1＝2＝3＝……＝0。因此，假設不成立。

什麼都是0，這不就是要四大皆空的節奏嗎？

大學生

可能有些學過微積分的朋友會反駁，「可以除以0的，結果不就是∞麼。」

實際上，這個說法並不對。

首先我們用極限思維來思考這個事情。

1÷0.1=10

1÷0.01=100

1÷0.001=1000

1÷0.0001=10000

......

意味著1除以一個很小很小的正數，得到一個超級大的正數。

同理：

1÷(-0.1)=-10

1÷(-0.01)=-100

1÷(-0.001)=-1000

1÷(-0.0001)=-10000

......

意味著1除以一個很小很小的負數，得到一個超級大的負數。

1除以一個無窮接近於0的正數和一個無窮接近於0的負數，走向的結果一個是正無窮，一個是負無窮。在這個中間經歷了多大的鴻溝，到底經歷了什麼，我不得而知。而他們的中間，除以的正是0。

因此，微積分課程裡會強調，∞這個符號只是代表一個趨勢，並不是一個確切的數，是不能參與運算。

碩士研究生

看到這裡，同學們肯定不會服氣：雖然一個數除以0是未定義的，但並不是就意味沒有啊。

沒錯，的確如此。

於是一個大膽的想法蹦了出來：制定新規則。畢竟，數學家也不是沒有試過。

在過去很長一段時間裡，平方根裡面是不能放負數的。後來數學家將負數的平方根定義為一個新的數字，稱為i，一個全新的複數的數學世界從此被開闢了。

既然他們都可以這樣做，我們也來湊個熱鬧唄，直接定義 1 / 0 = w，w是個「無限大」的數。

定義一時爽，一直定義一直爽。

我們雖然可以隨便定義東西，但如果和現有的數學體系不相容，就會用得很苦逼，甚至不能用。

那麼先來幾個簡單問題：1 + w等於多少？w - w等於多少？

我們可能會有這樣的的直覺：無窮大加1不也是無窮大麼！至於無窮大減無窮大不就等於0，自己減自己嘛！

我們不妨來加減一下。

1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1

可是

( 1 + w ) - w = w - w = 0

這裡面涉及到的結合律，是加法裡最基本的東西。也正因為它，才使得許多數學定理得以證明。

可想而知，如果結合律坍塌，那涉及到它的數學定理也一樣兵敗如山倒。為了能除以0，捨棄如此重要的結合律，明顯不划算。

那還不如老老實實用舊體系。

說人話就是這個定義......

博士研究生

有些同學可能不服氣，就是要反對：還有很多的定義方式，我就不信沒有！而且將來也會有新的辦法啊。

如果有能夠將除以0完美融入現代數學體系的辦法，那自然是最好，然而不大可能。其他學科可以通過新發現來推翻舊結論，但在數學裡走不通。因為數學在兩千多年的發展都是建立邏輯上，假如確實存在w這一個數，那麼它一定違反了我們現有數學體系中的公理。

比如「皮亞諾公理」。

Ⅱ、每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a' ，a'也是自然數(數a的後繼數a'就是緊接在這個數後面的整數(a+1)。例如:1'=2，2'=3等等。)

Ⅳ、不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b=c。

那麼問題又又來了， w 是哪個數的後繼數啊？哪個數加上1能得到 w？

你會發現根本說不出來，因為所有你能想到的數字都已經有屬於自己的後繼，只要把 w 當成一個數，那就沒法兼容我們現有的實數。

值得一提的是，如果皮亞諾公理沒了，整個自然數的體系就都不能成立。

8歲表妹必讀

那是不是就意味著表達式 1 / 0 = ∞ 也不能寫？

也不是不能。

事實上，還有一種「黎曼球面」的概念，是一種將複數平面加上一個無窮遠點的擴張。

裡面涉及到「復無窮」的一個東西，是擴充複平面上有定義的一個點。

在這個特殊的規則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式，但無窮遠點的算數區別於一般的代數規則不符。比如你不能把0放到式子右邊，寫成 1 = 0×∞。

然而這個黎曼球解決的並非是我們能否除以0的問題，它主要應用在分析和幾何的其他學科，譬如量子力學和物理學其他分支。

說到底，0能不能作為除數只是一個規定問題，如果確實要討論的話，那就只是在討論這個規定的合理性，所以在通常意義下0不能作為除數，否則會違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。

當你可以完美的除以0，就推翻整個數學界了。

本文作者：超模君，超級數學建模公眾號主編，數學與交叉科學教育自媒體博主。愛分享有用的數學建模知識，愛深挖有趣的交叉科學人物故事，愛為靠譜的現代教育產品打call。著有《芥子須彌·大科學家的小故事》，由清華大學出版社2019年出版。

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