初等數論入門方法
作 者：Delta
註：「入門方法」指的不是「如何入門初等數論的方法」，而是「入門級的初等數論所使用的方法」。為防止引起歧義在這裡提前說明。
在文章開始之前先問一個問題：
√2是整數嗎？
答案無非兩種：是，或者不是。我相信在場的大多數人都會說不是，因為在大多數人印象中，√2就是一個普通的無理數，而整數則是0，±1，±2…這些。但是我接下來要說的可能會顛覆某些人的想法。
√2確確實實是整數。
想要說明白這個，首先我們要了解代數數的概念：
顯然，所有有理數和無理數中能被表示成根號形式的數都是代數數，因為它們肯定是某個有理多項式的根。而代數整數的定義則要更嚴格一點，它要求：
而很顯然我們注意到，x-2=0滿足代數整數所需的多項式條件，那麼它的根√2就是代數整數，簡稱整數。此處的整數是我們所說的有理整數0，±1，±2…的推廣，它包含了全體有理整數，並且不包含全體非整數有理數（也就是分母不為1的既約分數）。
回到我們的√2上面來。為什麼數學家非要創造一個新定義去把√2定義成整數呢？其實這是代數數論的觀點，而代數數論很大程度上是為了解決費馬大定理而發展的。為了更一般地解決與不定方程相關的問題，我們需要把整數環的數論性質拓展到更一般的整環上，由此產生了從代數結構去研究整環的代數數論。
（場下觀眾：停停停停停！怎麼越來越多聽不懂的名詞了？）
好吧，我逐一解釋一下這些名詞：
當然，代數數論只是數論的一條分支，是為了解決純數學中出現的問題而產生的。然而這門理論並不能解決所有的數論問題，所以數論也進化出了很多其他的分支，比如解析數論、計算數論、幾何數論、超越數論、組合數論等等。總之，為了解決特定的問題，就要發展特定的數學工具，拓展特定的定義——這也是數學上的常用操作：
如果定義不夠用，就推廣定義；如果推廣後還不能滿足某些性質，那就修改定義；如果還不行，就拋棄這個定義。
而我們今天主要科普的內容，是數論中最簡單的初等數論，也就是主要研究正整數和其相關性質的數論。剛剛的代數數論介紹只是為了吸引大家的注意力，畢竟是整數這個概念徹底顛覆了很多人的觀念。其實這只是很常見的認知偏差，你說不是整數，也完全沒錯，因為你說的這個「整數」是你學了十幾年的、初等數論意義下的整數，而非代數數論意義下的代數整數。我的做法只是一種偷換概念的手段罷了。
那麼我們正式進入初等數論的科普。以下出現的所有名詞都是初等數論意義下的，也就是你記憶裡熟知的那些名詞。
我們還從我們的主角：√2講起。現在我要再問大家一個問題：√2是不是有理數？
當然不是！可能有些人被上一個問題搞怕了，但是我需要先糾正大家的觀念：
而對於p/q，我們習慣將它們叫做「分數」。我們之前提到的既約分數就是分數的一種，它是為了保證有理數集不含有重複元而被定義的。那什麼是既約分數呢？在談論晦澀難懂的定義之前，我們先來舉幾個例子：
聰明的你應該已經發現了不同。我們小學學過一種關於分數的運算，約分。沒有被約分乾淨的分數就不是既約分數，這樣是不是就很容易理解了？
同樣，下面的知識也是我們在小學就學過的：最大公因數（gcd）和最小公倍數[lcm]。如果兩個數的最大公因數是1的話，就說這兩個數互素（互質）。如果兩數不互素的話，那麼這兩個數構成的分數肯定不是既約分數。一般來說為了簡記，我們把求a,b的最大公因數記作(a,b)，求最小公倍數記作[a,b]，以下科普也會採用這種記號。
有了這些預備知識，我們就可以開始著手證明√2不是有理數的問題了。
針對其他根式也有類似的證法。讓我們稍微再扯一點代數數論的內容，一切作為代數數的無理數都可以用這種方法去證明其是無理數，也就是說它們具有的性質：而這種性質在初等數論中被割裂開了，這也說明為什麼有必要發展一門新學科代數數論。
好。回到初等數論。有了這些知識，以及我們初中學過的一元二次方程的韋達定理，我們已經可以參加IMO並且拿到銅牌了。至少在1988年的IMO如此：
本題的證明過程如下：
不過，之前說的「IMO拿銅牌」其實只是個玩笑。事實上我要是沒告訴你這種解法的話，你可能究其一生也解不出來。為什麼這樣說？這道題真的有那麼難？
這道題，陶哲軒只拿了兩分。全奧委會專家加上澳大利亞四個數論大師4.5個小時的努力未觸及本題實質。所以在科普之餘，我也建議大家不要會了一點東西就去炫耀，因為我們（包括我自己）都還水平欠佳，還達不到能正確估計自己真實水平的地步，根本不知道自己有沒有真正理解和掌握知識的深層次內容。所以，平常做人，謙虛點好。
對於這道題，我們真正要去了解的是它的思想。觀察證明過程，你會發現它是設出了一個最小值，又找到了一個更小的，以此發生矛盾來解決證明題。這種方法在數論中叫做無窮遞降法，一般用來解決不定方程求解的問題。當無窮遞降法與韋達定理結合的時候，就如同上面這種做法，叫做韋達跳躍。
不僅是不定方程求解，即使是之前關於√2的無理性的證明，也可以使用無窮遞降法。這個過程十分簡單，大家可以自己思考思考，思考完之後可以參考百度上的過程（我懶得打了），如下：
可以看出，這是一種非常有效而強大的反證法。與其相對應的還有一種無窮遞增法，但實際上無論是遞增還是遞降，本質都是一樣的。利用同樣的思路，我們採用無窮遞增法，可以證明下列事實：
素數有無限多個。
當然不是。我可以很負責任的告訴你，這個概率神奇地扯上了圓周率！
（場下觀眾：？？？初等數論不是主要研究正整數的嗎？最多也就扯上一點有理數，怎麼圓周率都出來了？）
（場下一位有代數數論基礎的觀眾：對啊對啊，就算你講代數數論也是針對代數數討論的，圓周率可是個超越數，怎麼扯上關係的呢？）
這就要從400年前說起了。傳說當時吳承恩夢見孫悟空大鬧天空，然後起床就寫了一本《西遊記》……咳咳，拿錯劇本了。不是400多年前，而是快400年了（376年）。
1644年，皮耶特羅·門戈利提出了一個著名的級數問題：
這個問題困擾了數學家們長達91年，最終在1735年由萊昂哈德·歐拉解決。它以瑞士第三大城市——同時也是歐拉的家鄉——巴塞爾(Basel)命名，即著名的巴塞爾問題。
在今天來看，巴塞爾問題只是一個十分簡單而初級的問題，任何掌握了高等數學知識的人都能給出其非嚴謹的推導。這個不嚴謹的推導也是歐拉在1735年給出的結果，而這個推導的嚴密化是在1741年呈遞的。
接下來我們從麥克勞林級數展開式開始來說明歐拉的方法：
而巴塞爾問題利用傅立葉級數的證明則直接用帕塞瓦爾恆等式可得。
下面我們對：
作一些簡單的變換。
為了使表達簡潔明了，我們把極限符號去掉，寫成：
則：
我們就得到了全體偶數平方和的準確值。
下面我們讓上兩式相減，得到：
我們又得到了全體奇數平方和的準確值。
但是，我們換個說法，全體奇數平方和，不就是全體正整數去掉所有2的倍數後得到的數列全體數的平方和嗎？按這個操作的話，我們是不是能夠再進一步去掉所有不是2的倍數的3的倍數、不是2、3的倍數的5的倍數……最終去掉所有合數呢？
下面我們來繼續操作：
則：
顯然我們也有：
反覆不斷操作下去，得到下式，其中 p 表示全體素數：
這個證明說明了，數學的各個分支之間都是有緊密的聯繫的，說不定你研究數論學著學著就跑到微積分以及複變函數上去了。順帶一提，上面的證明如果再往下延伸，我們就可以講到上期的黎曼猜想了。
現在我們拋開任意取兩個正整數互素的概率這個問題，我們來思考一種更簡單的情況：
在小於 2n 的所有正整數之中挑出 n+1 個，其中存在兩數互素的概率？
答案是百分之百。
（場下觀眾：走了走了不聽了搞我心態。剛剛不是還說是跟圓周率有關嗎？）
對於全體正整數而言，確實跟圓周率有關。但是我們現在加上了限制條件，問題就變得簡單的多了。實際上，如果我們知道抽屜原理，本題就是一道很簡單的題目。
抽屜原理：
把數量多於 n+1 的物體放到 n 個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡的物體不少於兩個。
這個原理是很直觀也很顯然的，我相信大家都能理解。但難點是抽屜的構造。我們來看一下第一個遇到這個問題的人：不到12歲的路易·波薩是如何回答的：
非常巧妙的構造！但是，為什麼相鄰的正整數必定互素呢？先別著急，自己隨便舉幾個例子，是不是發現它們都不可能有公因子？實際上，我們有：
如何利用裴蜀定理說明相鄰正整數一定互素呢？實際上令 x=1,y=-1 就可以很輕鬆的證明了
那麼，本次科普也要接近尾聲了。回顧我們講過的全部內容，其實大部分時間都是在討論互素、整除、最小公倍數、最大公因數這些正整數的性質。僅僅是正整數，就能延伸出如此多複雜而又優美的理論，其中有些問題甚至是當今人類的智慧解決不了的，比如哥德巴赫猜想：1742年6月7日，普魯士派往俄國的一位公使哥德巴赫寫信給歐拉，提出「任何偶數由4開始（即大偶數），都可以表示為兩個素數的和；任何奇數由7開始，都可以表示為三個素數的和。後者是前者的推論，也可獨立證明（已被解決）。」後世為了簡記，就把大偶數一個不超過 a 個素數的乘積與一個不超過 b 個素數的乘積之和叫做 (a+b) 問題。陳景潤完成的工作，也是最接近哥德巴赫猜想的一步，是大偶數表為一個素數和一個不超過二個素數的乘積之和，所以記作 (1+2)，而不是1+2=3。同樣的，哥德巴赫猜想是一個大偶數表為一個素數與另一個素數之和，所以記作 (1+1)，不是1+1=2。如果讓歷代為哥德巴赫猜想心力憔悴的數學家們知道了現在大部分人口耳相傳的「1+1=2還沒被證明」，他們可能會被氣活過來。
那麼，本次科普到此已經介紹完了預計的所有內容。有緣的話下次再見啦~
我們是傳播科普的學生大家庭，很高興你能看到這裡~
作 者：Delta
APC編輯部科普組
聲明：未經作者或編輯部授權，禁止進行摘抄、轉載、篡改或引用，否則將追究版權責任。