02-07-10_衛星掃描面積
本期高中物理競賽試題，我們共同來探究衛星在圍繞行星運行時，對行星表面的觀測區域的大小的問題，考慮到一般行星都是球形的，因此一顆衛星在運行過程中是不可能覆蓋全球的，但是能夠覆蓋哪些區域呢？覆蓋的區域佔到總面積的的多少呢？這就需要具體分析一下了，本題目在比較理想的條件下，分析衛星運行時對地面的掃描面積，並通過該題目，粗略的探討一下要覆蓋整個地球表面需要多少顆衛星呢，那像美軍的間諜衛星一樣，要想全天覆蓋一個一個區域又需要多少顆衛星呢，我們試著給出答案。
好了，不說了，先看看題，後面具體分析。
高中物理競賽典型題與解題步驟
衛星沿圓形軌道運行，探測某行星，對其進行拍照，衛星運行周期為T，行星密度為p，試問行星的表面尚未拍攝到的部分與行星表面積之比？
高中物理競賽題解題方法
由題目不難理解，該衛星在萬有引力的作用下，圍繞行星做圓周軌道運動，其運動的方程由牛頓第二定律給出，即萬有引力提供向心力，得出題目中的方程二，但是方程式中的加速度表示，就需要好好分析一下了，由題目中的圖1的幾何關係不難發現，要想計算面積的比，就必須要知道圓弧BEF的表面積，是通過表面積計算公式得到，然而表面積的計算公式，與球的半徑和角度有關，而角度的關係直接受到衛星的高度的影響，高度越小，角度越小，面積就越小，因此此題目的關鍵因素是衛星的高度位置，即公式中的半徑。
然後由題目中的已知條件分析不難發現，已知量是衛星的運行周期，因此在寫牛頓第二定律的方程時，要考慮關於周期的方程，即得出方程二。觀察牛頓第二定律的方程，除了需要求得的半徑是未知量以外，行星的質量題目中仍舊未給出，所以需要進一步表示出行星的質量，即通過行星的體積，表示出質量，也就是題目中的方程一，然後將方程一代入到方程二中，經化簡可得到方程三，並結合圖中的幾何關係，不難發現，方程三就是角度餘弦值，即方程四。
最後通過公式計算行星被拍攝到的範圍與總面積的比值，仍舊是剛才計算出來的角度的餘弦值，因此題目中的比值就是方程四中給出的答案。
高中物理競賽題重難點突破
本題目的一個難點就是在圓臺面的表面積計算上，這個計算需要用到簡單的微積分的知識，並且該計算過程與球的表面積計算方法很類似，或者說幾乎完全相同，稍有不同的就在於積分的上下限不一樣而已。
所以有必要先來討論一下球的表面積積分運算方法，首先在球殼表面選取一個微元面積，仔細觀察該微元，不難發現，其微元的一條邊在大圓上，因此長度為大圓弧的一小段，用半徑乘角度的微分，而另一邊並不在大圓面上，而是在半徑為大圓半徑的正弦值的小圓半徑上，因此得到小圓上的長度微分為大圓半徑的正弦值乘角度的微分，此時通過觀察發現，大圓角度微分是180度的，而小圓的角度微分在360度上積分，最終得到答案。
然後看圓臺的計算方法，前面完全相同，唯一的不同就在大圓的積分範圍上，從0度到圖示角度的積分的兩倍，代入後就能得到表面積表達式了。