前面的《探索：為什麼1/x,1/x^2曲線下的面積一個是無窮大，而另一個是1》一文中我們從兩個相似的函數所圍成的面積中得出兩種截然相反的結果，也得出一條重要結論：當x趨於無窮大時，雖然兩個函數都趨於0，但變化越快的函數所圍成的面積是個定值的，變化慢的函數所圍成的面積是趨於無窮大的。你在學微積分時是否有注意到這個現象。
此外，我們繼續延伸，將面積收斂的1/x^2函數，換成1/(x^2+1)，在x趨於無窮大時，它的面積又是怎麼樣的呢？首先我們來猜測一下，x 在∞時，1/x^2所圍成的面積是存在的，那麼1/(x^2+1)所圍成的面積肯定存在，因為，在無窮大的情況下1/x^2=1/(x^2+1)
1/x^2的函數圖形只有右邊區域，但1/(x^2+1)分母中有了一個1從而避免了分母為0的可能，所以1/(x^2+1)的圖形包含左右對稱的兩邊。也就是一個偶函數
我們繼續分析1/(x^2+1)在無窮大時的狀況，如果你查閱了積分表，或者精通無窮級數的話一眼就可看出，它是一個特殊的積分：就是tanx的反函數，即反正切函數
首先在tanx=0時，x肯定等於0，那麼當tanx=∞時，根據你的初高中知識，立馬得出x=π/2
或者你可以從另外的角度理解：tanx=sinx/cosx，在什麼情況下斜率tanx最大呢，肯定是sinx=1，cosx=0時最大，所以x=π/2。
將x換成t趨於正無窮大時，就得到曲線下的面積是π/2，為了獲得趨於負無窮大另一半的面積，又因為這是一個偶函數，是關於y軸對稱的，所以1/(x^2+1)所圍成的整體面積就是π
你會驚訝的發現它的面積居然和π有關，我們一般只有在處理圓周問題時才會看到π，但這裡是沒有圓周的，這是數學中令人驚嘆的神秘的例子之一。
我們再來看另一個例子，如下明顯涉及到漸近線問題，漸近線有水平和垂直漸近線之分
如果我們向右移動垂直漸近線，這裡的t可以替換任意值，注意從這裡你是否可以發現如何求一個函數的漸近線，即x趨於∞時，對應的y值是個常數，那麼這個常數就是x的水平漸近線，反之就是y的垂直漸近線。
如下你看，x=2時，y值趨於無窮大，所以x=2是y的垂直漸近線。
這個函數不同於以上的，只有在x取某個具體數值時，整體函數才會處於無窮大的狀態
經過簡單的變化，你可以得出這個函數所圍成的面積。
你會發現我們求得在這些在無窮大環境下的積分面積和在有限區間內的積分性質是一樣的，只不過在無窮大環境下更能體現一個函數的真實狀況和完整的特性。這在無窮級數裡面也表現得淋漓盡致。
以上都是一些習以為常的函數，也許曾經並未引起你的注意，而就是這些不起眼的例子，卻隱藏著豐富的數學知識。
留給夥伴一個思考題：1/(x^2+1)和1/x^2雖然在趨於無窮大時，兩者是等價的，但為什麼在1到+∞時：1/(x^2+1)曲線下的面積反而大於1/x^2曲線下的面積，雖然它們相差的數值小於1。