如下是X^2,X^3,X^4的函數圖形，現在要求這些曲線下的面積，這是早期數學家要面對的問題，
都知道冪函數等於
我們需要計算冪函數圖形下的面積。
用現代數學符號表示
在牛頓和萊布尼茲發明微積分之前，即數學家理解積分與導數之間的關係之前，就已經解決了這個問題。在發現微積分之後，即現在所說的微積分基本定理，答案很簡單
在阿基米德（死於公元前212年）之後，卡瓦列裡（Cavalieri)(約1630年）是第一個成功解決類似問題的人。在卡瓦列裡（Cavalieri）之後，其他數學家，例如託裡切利（Torricelli），羅伯瓦爾（Roberval），瓦利斯（Wallis）和費馬（Fermat）完全解決了這個問題
本篇文章中，我們將介紹費馬如何解決這個問題的
費馬的想法是把幾何級數的和引入到 X^n曲線下的面積中，
我們需要知道如何對幾何級數求和：
稍後，我們將使用以下多項式進行因式分解（您可以看到它與有限的幾何級數之和有關）
費馬開始劃分積分間隔[0，a]。但不是分成相等的部分，費馬使用了不相等的細分，如下圖。他的解決方案是使用幾何級數確定此矩形的寬度。矩形的寬度以幾何級數增加。
設r為0 - 1之間的一個數，則：
他考慮了矩形的寬度：
這些矩形的寬度按幾何級數排列。
每個矩形的高度為：
每個矩形的面積為：
這些區域呈幾何級數。
我們可以把這些矩形加起來(結果取決於r的值):
我們已經知道如何對幾何級數求和：
n是一個正整數，我們可以簡化上述表達式
當比率r接近1時，該表達式的分母接近n + 1，我們可以得出以下結論：
上述就是費馬的解決方法