數學中的相鄰思想為何如此重要?

眼前決定遠方，是相鄰思想的通俗表達。火車能跑，是因為火車頭能跑。狙擊手射擊時，只關心微調，即擺正遠方目標映射在準星裡的位置關係，微調準確，子彈抵達終極目標就準確。有細膩的相鄰關係，就有細膩的整體表達，也就是說識別對象的解析度就會越高。為什麼我們的晶片技術被人卡脖子，就是細膩的相鄰關係我們在材料上實現不了，就是細膩的相鄰關係我們在算法上實現不了。

本文就相鄰思想發表一些個人看法，順便對《數學底層引擎相鄰論和重合法》中的某些章節內容做一些更細微的補充，以滿足讀者除邏輯關係外增添一些對證明的直覺理解。

 

1.0. 相鄰思想在數學歸納法中的重要意義

 

數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數範圍內成立。除了自然數以外，廣義上的數學歸納法也可以用於證明一般良基結構。例如：四色猜想的證明，表面看頂點的延伸並不一一對應區塊，使用數學歸納法就不能直接採用頂點數延伸來進行常規證明，因為頂點度數不同，頂點所有對應的區塊就是變數；但區塊地圖是可以轉換成頂點表示的，這樣頂點數和區塊數一樣都擁有對應的自然數遞推。總之若存在結構能用自然數成功對應也就能合法使用數學歸納法了，表面沒有自然數遞推關係，但深層結構有自然數遞推關係。比如，集合論中的樹就是。

這種廣義的數學歸納法應用於數學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。在數論中，數學歸納法是以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的（第1個,第2個，第3個，一直下去概不例外）的數學定理。如有四元變量的費馬方程，指數變量n從第3，第4，一直下去都符合命題要求，亦算滿足數學歸納法，但是它們的相鄰間隔單位彼此是不一樣的。

此外數學歸納法還有各種變形，如費馬的無窮遞降法，就是用來反證的另一種數學歸納法，數學歸納法是初項正確，相鄰推斷可行，於是無窮項也就可行。無窮遞降法則是，假如無窮項可行，相鄰遞推可行，但與初項不可行矛盾，於是無窮項都不可行。

雖然數學歸納法名字中有「歸納」，實屬於完全嚴謹的演繹推理法。

最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：1、證明當n= 1時命題成立。2、假設n=m時命題成立，那麼可以推導出在n=m+1時命題也成立（m代表任意自然數）。其中n與m就是 相鄰關係。

數學歸納法就是多米諾骨牌原理，可以迭代推動。這個原理的核心是什麼？就是前繼可以確定後繼，那一切就在定數中。就象推背圖中的兩人能相鄰推動，於是就能預測未來一樣。相鄰關係一旦被確定，整體便被確定。相鄰是一種加性連接，線性連接，時性連接，是一切關係中的起點，因此考察離散量中的相鄰關係，就成了數學思維中的首要問題。

 

2.0. 相鄰思想就是不忘初心讓初始關係確定空間性質

 

數學是研究數和形的內在結構以及程序變化的。其中研究形的就叫幾何，早期的幾何叫歐氏幾何。幾何大廈體系是靠幾條公理建立起來的。

歐氏幾何的五條公理是：

1、任意兩個點可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4、所有直角都全等。

5、若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角和，則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理（平行公設），可以導出下述命題：通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

另外五條公理是：

1、等於同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量減等量，其差仍相等。

4、彼此能夠重合的物體是全等的。

5、整體大於部分。

以上同樣我們不難發現，相鄰思想在幾何中有核心引擎的作用，是價值不斷擴大的印鈔機。他首先通過兩點來定義能用直線通過的線段，就好比是概念的內涵，而線段的延伸就好比是概念的外延，而直線在平面上發生另類相鄰延伸，就出現了曲線，角度的相鄰延伸開始了，先是定義直角，是角度的一次相鄰延伸。接著圓便產生了。第五公理說明間距有限的直線會無限延伸，為更高維空間提供了相鄰延伸。可見都離不開各種相鄰關係的變化。

另外五條公理也顯示了相鄰思想是公理之間相互關聯的始作俑者，物體重合是最緊密的相鄰，然後是對稱相鄰，對稱量施加對稱行為，還是對稱量，接著有等量傳遞，而整體大於部分則來自序列相鄰。五條公理都是在用不同的相鄰關係在描述等量。

相鄰是產生萬物關係的初心。只有密切關心相鄰關係，才能窺探到天地間的微妙變化。空間性質發生了變化，一定是相鄰關係發生了變化。

 

3.0. 相鄰思想與微積分中的緊鄰差商有何內在關聯

 

函數因變量的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數，導數也叫差商，也就是兩組間隔比，它考察的是無限細微的緊鄰關係，而積分則是微分的集結，微分是積分的細分。微分就是緊鄰間隔，是相鄰思想的體現。但它不是自然數的緊鄰關係，不是離散量的緊鄰關係，它是連續量的緊鄰關係。微分在數學中的定義是：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數改變量的線性主要部分。微積分的基本概念之一。通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx =Δx。於是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數因變量的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

注意到沒有，整個分析數學的基礎就是從思考相鄰關係開始的。產生這一思想的分水嶺就是細微間隔的單位元有極限，而集結這些細微間隔的具體數值也有極限。是先有無窮，而後才有極限思想的，這與微積分產生的歷史吻合，歷史上是先有積分，而後才有微分的。積分是原函數，微分是積分的分割，我們的教材先學微分後學積分，這其實並不符合我們演繹思維的規律，我們是先理解1，而後才理解分數的，乃至理解無窮小的，0的概念不如1更基本，0是繼1之後被發現的。

可見離散量比連續量更基本，離散量的相鄰關係，從定義上看就比連續量的相鄰關係更基本。自然數的相鄰間隔為1，連續量的相鄰間隔是各種無窮大的倒數極限，而理解無窮大是要先從理解1開始的。因此整數間的相鄰關係就要比連續量之間的相鄰關係深刻得多。老子講道生一，一生二，二生三，三生萬物，很多人把道理解成0，這是不妥的，甚至把大爆炸學說中的奇點理解成立0，這是不能自圓其說的，不如把道理解成秘密的1，把0當序數來使用，是不如1方便的。0是一個蘊含1的最小極值數，與是同一個級別，它是一個蘊含1的最大極值數。既然有極值，就有不同層次的和不同層次的0。

整數中的相鄰關係可以看成是數學裡的初心，只有不忘初心，演繹出的各種邏輯關係才不會混亂和孤立。數論是數學的童年，治療童年創傷，是解決當下問題的基石。數學中的很多疑難雜症解決不了，都可以從數論中開出解決問題的處方。

 

4.0. 相鄰思想決定了群論中單位元即所有元素有交集

 

群的定義滿足四條性質，封閉性，結合律，單位元和逆元。其中最重要的就是可確定單位元，單位元的確定，就是生成元的相鄰關係的確定，封閉性則是生成對象的相鄰關係的確定。而中間兩條就是關聯算法了。封閉是被算法確定的，算法是被不同性質的相鄰關係確定的。這就是單位元的重要性，一個確定的集合，基本上由單位元來刻畫。一些算法都是用來補充描述不同單位元的特有性質的。

幾何的分類可以通過無限連續變換群來進行。置換群是很重要的一類群。群論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。就像柏拉圖正多面體只有五種一樣。很多無窮對象都是可以進行可窮分類的。這就需要我們去探索事物的初始相鄰關係。比如任何一個大於6的偶數都可以分割成兩個不同的素數。通過有限項分割就能完成，這是我們的直覺不能理解的，大素數那麼稀疏，居然兩類素數就足夠來打造所有偶數了。素數之間的相鄰關係可以刻畫所有偶數，等量相鄰原來被不等量相鄰所蘊含。有了單位元思想，我們的計算就可以跳躍式進行，這就是伽羅瓦所說的，我們完全可以不必拘泥於逐步計算，均勻地數數，而是可以跳躍式地直取目標，不必均勻的數數，而是可以直接數結構的。

從伽羅瓦開始現代數學進入了新紀元。

 

5.0. 相鄰思想在證明哥德巴赫猜想中明確了素數的加性特徵

 

而相鄰思想是可以直接證明哥猜成立的，其中有一個關鍵引理是這樣問的。

為何例外偶數同所有可表偶數是累積互素關係？

因例外偶數與可表偶數有全體互異關係，根據互異必有相鄰，相鄰必有互素的性質（正整數相鄰互素定理），必存在龍頭例外偶數2x與可表偶數2a、2b、2c、…等有以下互素關係：（a，x）=1，（b，x）=1，（c，x）=1，…等，且所有龍頭例外偶數2x≠可表偶數2a，2b，2c，…等，另外已證可表偶數中的因子a，b，c，…等含所有p素數因子（2p型可表偶數定理）。根據以上結論，故所有偶數2n={2p型可表偶數，非2p型可表偶數，龍頭例外偶數，後繼例外偶數}，又因所有例外偶數2x≠2a，2b，2c，…（含2p型可表偶數，非2p型可表偶數），且存在龍頭例外偶數中的x也同非2p型可表偶數互異，因互異必有相鄰，相鄰必有互素的性質。即所有龍頭例外偶數2x≠2a，2b，2c，…（2p型可表偶數，非2p型可表偶數），則有（非2p型可表偶數，x）=1。

由於可表偶數蘊含所有素數因子，x總是與互異對象的所有n相鄰互素，2n包括2p型可表偶數，非2p型可表偶數，後繼例外偶數，故累積未包含過任何素數因子。此時僅存在x=1，故龍頭例外偶數2x只能是2，它的後繼偶數4，6，8，……等都是歐拉型可表偶數，8，10，……等還可以是互異型可表偶數，於是可判定可表偶數的相鄰後繼例外偶數都是空集，因全被可表偶數中的全體素數因子佔據後繼位置了，於是後繼相鄰於可表偶數的所有龍頭例外偶數2x為空集，繼而例外偶數2m』為空集。  

可表偶數2m與例外偶數2m』因互異而必有相鄰，即存在龍頭例外偶數2x，而龍頭例外偶數2x與可表偶數2m因相鄰而必互素。因存在2x-2m=2,由於m與1是互素的，根據本原解三元方程性質，故x與m是全體互素的。也就是說，由於龍頭例外偶數要同可表偶數累積互異，即全體互異，因全體互異而必有全體相鄰，故導致與龍頭可表偶數會累積互素，即全體互素，而可表偶數2m是蘊含所有可表偶數2p的。前文已證，假如有2p型例外偶數存在，所有素數就一分為二，則有p'∪p''=p，因為2p』型例外偶數 - 2p''型可表偶數=偶數間隔2t，p'-p''=t，p'與p''不僅每次因互異而互素，p'與p''兩類解集也是如此，t與p'，t與p''也就相應每次互素，由於p'、p''、t三元數集，其中兩元不僅每次互異互素，且始終互異互素，則三元兩兩不僅每次互異互素，且始終互異互素，因p'∪p''=p，t就無素數因子可構造，故所有的2p都是可表偶數。

這意味著x要與所有的p累積互素，如此x就無素數因子可構造。可見累積互素是因龍頭例外偶數同可表偶數全體互異定義導致的。龍頭例外偶數印證了素數多項式是素數二項式的線性映射，素數二項式若不存在，素數多項式便不存在。例外偶數就是沒有二項式素數基礎解系的線性映射，當然是空集。

（參考《用重合法和相鄰論可嚴密證明哥德巴赫猜想原題及相關猜想》一文中的p027第14行前後內容。）

 

6.0. 孿生素數用相鄰思想最直觀表達了等量的奇數緊鄰與不等量的素數緊鄰有交集

 

孿生素數猜想也是可以用相鄰思想來破解的。其中兩類差值對象會匹配跟進，這種必然性需要一個證明。我們發現這種必然性，也是相鄰思想在推動的。

為何素數的差值的差值方程有匹配協變解集？

根據哥猜獲證p+q=2n及偶數性質可得到素數的差值的差值方程和偶數間隔關係。

（p

i

-q

i

）-（p

0

-q

0

）=2   或者 （p

k

-q

k

）-（p

0

-q

0

）=2n+2

（p

i

-q

i

）-（p

0

-q0）=4   或者 （p

k

-q

k

）-（p

0

-q

0

）=2n+4

（p

i

-q

i

）-（p

0

-q

0

）=6   或者 （p

k

-q

k

）-（p

0

-q

0

）=2n+6

（p

i

-q

i

）-（p

0

-q

0

）=8   或者 （p

k

-q

k

）-（p

0

-q

0

）=2n+8

 ……

上下相鄰相減，留下變量素數組，常量素數組去除，等式右邊可獲得相同不變的差值2，等式左邊可獲得不斷遞增的素數組，它們是不同素數區間上的素數組，可差值的差值都等於2。 可見方程的兩對素數差值存在協變遞增而差值不變。（pi-qi）大-（pi-qi）小=2有無窮組解；（p

k

-q

k

）大-（p

k

-q

k

）小=2n有無窮組解，n可以為任意正整數，波利尼亞克猜想獲證。

根據素數數列有限長定理以及伯特蘭定理也可證明孿生素樹猜想。

不大於任意給定偶數2n間隔的素數對假如為有限組，那麼大素數的增長必然相鄰間隔要大於2n，否則素數數列會無限長，矛盾；但選擇大素數區間的間隔無窮無漏大於2n，又會與伯特蘭定理矛盾，而不新增素數又會與素數無窮個相矛盾。故歸謬可知間隔給定數2n的素數對有無限組。繼而可推出給定的互異遞減間隔為2n-2t的素數對也有無窮組。因為間隔2n的素數對有無窮組，那無窮組間隔2n的素數對其組間隔偶數又不能僅大於2n，否則大素數的間隔就不能構造所有偶數，也會與伯特蘭定理相悖，且不能沒有互異組間隔，否則素數數列會無限長，故必有偶數小於2n的間隔素數對有無窮組。

由於組與組之間不能僅遞增間隔（孿生素數除外），那只能無限匹配間隔遞減，且根據鴿籠原理必有偶數為給定值的間隔素數對有無窮組，如此往下窮追，就必有偶數為2的間隔素數對有無窮組，因為必須無窮找到更小的互異偶數做組間隔，這樣孿猜就獲證了。孿猜獲證，那間隔2n-2的素數對就有無窮組；間隔2n-4的素數對就有無窮組；……如此，波利尼亞克猜想就獲證了。

（參考《差值等於2n（n≥1）的素樹對各有無窮組》p085第16行前後內容。）

 

7.0. 低維費馬方程和費馬不等式其指數升降變換規則是相鄰思想的應用

 

費馬猜想雖被懷爾斯所證明，但數學家們大多是從推理形式上理解的，能有數感理解的則不是很多。這是因為數學界尚未公開推出費馬猜想有簡潔證明，根據奧卡姆剃刀原理，簡潔證明才最靠近事物的真相。最有利於幫助我們完成數感理解。而用相鄰思想證明費馬猜想，就能滿足這一要求。相鄰思想在證明費馬猜想中用到了不等式變換，其中有個引理證明是這樣問的，此問題的解決，費馬猜想的證明就可以用書的邊角足以寫下了。

為何費馬不等式其中變量的大邊變小以及小邊變大仍是不等式？

費馬方程奇指數時無解(n=2t-1)，偶指數時就無解（除n=2）；偶指數時無解（n=2t），奇指數時就無解(除n=1)；還有費馬方程奇指數時有解(n=1)，其它指數時就無解；偶指數時有解（n=2），其他指數時就無解。費馬方程若且唯若n等於2時，偶指數方程有解，費馬方程若且唯若n=1時，奇指數方程有解。其中X=（2^ k）a為偶指數時，X-1=a 為奇指數。只要2指數性質能相互判定1指數性質，便能做到用偶指數性質相互判定奇指數性質，繼而奇、偶指數性質能相互判定2指數、1指數性質。現我們已知2指數以及1指數費馬方程是有解的。在此基礎上我們來推導其他指數變化時的費馬方程性質。

由於A和B滿足交換律，於是A、B、C的大小秩序有8種可窮分類。於是得到，二次費馬不等式降維變換規則以及二次費馬方程降維變換規則；一次費馬不等式升維變換規則以及一次費馬方程升維變換規則。簡稱，低維費馬方程和不等式指數升降變換規則。

（1）當 A ＜ B ＜ C 時，則A^ 2 +B^ 2 ＜C ^2 ，相互可證得， A ^2 /A+B^ 2 /A ＜ C^ 2 /A

大邊的分母變大時大邊仍大，小邊的分母變小時小邊仍小。或者，當ABC皆為勾股平方數時，相互可證得，不等式變等式。或者，當ABC存在不含平方數時，相互可證得，不等式變等式。或者，大邊的分母變大時大邊變小了，小邊的分母變小時小邊變大了。

於是，A、B、C除了皆為勾股平方數（二次費馬方程）或者除了存在不含平方數（一次費馬方程）時，A ^2 /A+B ^2 /B ＜ C^ 2 /C，相互可證得，A+B ＜ C。或者，A+B ＞ C。費馬不等式其中變量大邊變小及小邊變大仍是不等式的原因乃是例外變等式的情形極少，只有勾股平方數時或者存有不含平方數時，費馬不等式的指數變化會成等式，特徵值方程也印證了這一點。故偶指數遞減後的費馬不等式要麼是二次費馬方程，要麼是一次費馬方程，其他情形，不等式的指數變化仍是不等式。其中二次費馬方程指數遞減只能得到一次費馬不等式。可見方程的指數變化必變為不等式（特徵值性質決定），不等式的指數變化會變成極少類型的二次費馬方程或一次費馬方程（不等式變換決定），其他仍變為不等式。

（2）當 A ＞ B ＞ C 時，則A^ 2 +B^ 2 ＞C ^2， 相互可證得， A+B ＞ C；

（3）當 A ＞ B ＞ C 時，則與 A^ 2 +B^ 2 ＜ C ^2 無關；

（4）當 A ＜ B ＜ C 時，則A^ 2 +B^ 2 ＞C ^2 ，相互可證得， A ^2 /C+B^ 2 /C ＞ C^ 2 /C

大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。

於是，A ^2 /A+B ^2 /B ＞ C^ 2 /C，相互可證得，A+B ＞ C。

（5）當 A ＞ C ＞ B 時，則與 A^ 2 +B ^2 ＜ C ^2 無關；

（6）當 A ＜ C ＜ B 時，則 A^ 2 +B ^2 ＞ C ^2，相互可證得，A ^2 /A+B^ 2 /A ＞ C^ 2 /A

大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。

於是，A^ 2 /A+B^ 2 /B ＞ C ^2 /C，可得，A+B ＞ C。

（7）當 A ＜ C ＜ B 時，則與 A^ 2 +B ^2 ＜ C ^2 無關。

（8）當 A ＞ C ＞ B 時，則A^ 2 +B ^2 ＞ C ^2，相互可證得，A ^2 /B+B ^2/B >C ^2/B

大邊的分母變小時大邊仍大，小邊的分母變大時小邊仍小。

於是，A^ 2 /A+B^ 2 /B ＞ C ^2 /C，可得，A+B ＞ C。

還已知根據洛書定理證得4n型偶指數費馬方程無整數解，根據上文的二次費馬不等式降維變換規則，它可推得2指數時除勾股方程有解外其他情形都無解，進一步推得1指數時一次費馬方程有解外其他情形都無解。

可見證明關鍵是，1指數的費馬方程有解指數變換後無解（特徵值性質決定），2指數的費馬方程有解指數變換後無解（特徵值性質決定）；1指數的費馬方程無解指數變換後除了僅一次變勾股方程外其他仍無解（不等式性質決定），2指數的費馬方程無解指數變換後除了僅一次變一次方程外其他仍無解（不等式性質決定）。（不等式性質：大邊變小，小邊變大，存在相遇變方程的機會）。

根據指數4n型的費馬方程無解（由冪尾數周期律證明），再根據低維費馬方程和不等式指數升降變換規則，可得到2n型費馬方程也無解，除了二次費馬方程，因為可2次方程表達，除了有勾股解外，其它都是2次費馬不等式和其它偶數次費馬不等式。

再根據指數2n型費馬方程無解，2倍奇指數2t的費馬不等式降維後，要麼變成指數為1的費馬方程以及變成指數為非1的費馬不等式。要麼也有可能變成某一奇指數t的費馬方程及變成某一奇指數非t的費馬不等式，但這會與非t中必有1次費馬方程矛盾，故降維後所得到的奇指數方程除了1次方外其它奇指數都是費馬不等式

。

洛書定理還可得到三元方程指數不同的4a、4b、4c偶指數比爾方程無解，就可推得比爾方程a、b、c指數情形時無解。該法是可以解決比爾猜想的，而懷爾斯的證法卻不能解決比爾猜想，可見該法更深刻。

（參考《一種可簡潔證明費馬猜想成立的巧妙思路》一文中的p0121第10行後8條內容）。

 

8.0. 相鄰思想的直接產物相鄰閉鏈定理可證明四色猜想成立

 

四色猜想是一道直接研究相鄰思想的拓撲學問題。平面中的不同類相鄰有最優化分布，人們猜想，四種顏色就足以不同類區分所有的平面的地圖了。兩類基本部件可區分線條，哥德巴赫猜想已經證明了這一點，那二維平面呢相應地需要四類基本部件來 區分了，這樣一來有沒發現，哥德巴赫猜想同四色猜想原來有關聯。證明四色猜想，同通過完成證明一個重要引理相鄰閉鏈定理來完成的，本文就不細說，有興趣的可以去噹噹和京東淘本作者的新書過來看。這裡單只說作者是如何對地圖進行結構分類的，能夠把結構分類好，就能妥善地完成證明。作者在構造相鄰閉鏈時有一個重要創新，就是讓每次的鄰接色不超過三種，然後用緊緻的相鄰閉鏈來延拓未著色地圖，那麼閉鏈就會有奇偶兩類肯普鏈，奇鏈就會出現斷點區塊須用第三色區分。於是就出現了下面的問題。  

為何新一輪相鄰閉鏈要從斷點區塊開始構造？

若爾當曲線定理+子樹遍歷序列（樹葉序列）=任一給定地圖的結構。

任一給定圖被完全著色等價於被若爾當曲線（區塊閉鏈）全部充滿。後繼相鄰閉鏈重複使用前繼相鄰閉鏈中的斷點區塊，仍然屬於若爾當曲線在分割未著色區塊。從斷點區塊構造相鄰閉鏈有個好處，就是能不斷地用後繼鄰接色覆蓋前繼鄰接色中的第三色。這樣能始終滿足鄰接色不超過三色的相鄰閉鏈定理。延伸相鄰閉鏈定可充滿給定地圖。側邊點數判定法、頂點度數判定法（鴿籠原理）。四鄰定理。這些規則能判定鄰接色不超過三色。由此可證明，第四色區塊總被不超過三色的鄰接區塊覆蓋。切斷偶鏈的區塊叫斷點區塊，或叫單區塊。斷點區塊若不止一個須啟用悔棋模式消解對稱性，可設置兩個斷點區塊。

兩類互異肯普鏈：藍綠肯普鏈，紅黃肯普鏈。斷點區塊總被不超三色覆蓋。兩類相鄰閉鏈：奇數閉鏈=斷點區塊+肯普開鏈；偶數閉鏈=肯普閉鏈。

四色猜想成立的主因是第四色總被三個區塊包圍的四鄰定理，它比可兩兩相鄰的區塊不大於5個要強勢一點，雖然是同一個定理，但描述的側重點不同。

（參考《用完全數學歸納法證明四色猜想成立》一文中的p144倒數第3行前後內容。）

 

9.0. 相鄰思想決定了考拉茲迭代函數每次解集具互異傳遞性

 

很多問題都能被相鄰思想攻克，考拉茲猜想也不例外。考拉茲猜想難就難在每次的迭代解集是有限個的。其它引理相對容易被證明，相對容易被解釋清楚。

為何素數數列有限長定理可證每次迭代解集為有限個？

模運算的餘數分類：3x+1=2^k; 3x+2=2^k; 3x+3=2^k; 本原解決定通解: 3x+1=2^k，3x+2=2^k。3x+1=2^k有無窮組解。考拉茲給定值xi以及後繼奇數的迭代函數 f（f（xi））=(3xi+1)/2^k， f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k.最簡本原解決定通解: f（f（xi））=(3xi+1)/2^k若無解 f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k必無解，3xi+1=2^k有無窮組解。即最簡本原解決定通解: f（f（xi））=(3xi+1)/2^k若為不等式 f（f（xi+2））=(3xi+7)/2^k必為不等式。這個書裡已講清楚。

在描述用素樹數列有現長定理證明迭代解的個數為有限時，用到下們的推導。因為考拉茲迭代函數不僅解集具有互異傳遞性，解集中的不共素因子也具有互異傳遞性。關於這個結論，證明如下。

圍繞每次輸入的生成元定值要麼迭代變大要麼迭代變小延伸，不會重複。

2^n1• x2=3x1+1……① 2^n2• x3=3x2+1……② 2^n3• x4=3x3+1……

2^nk• xk+1=3xk+1 由於①-②可得到方程（2^n1+3）x2=3x1+2^n2• x3，且因為其中的x1， x2 互素， x3，x2 互素，故x2 必與x1，x3 互異。若x1，x3 非互異，那麼（2^n1+3）x2=（2^n2+3） x1，因 x1，x2 互素，故整數本原解只能是 x1=2^n1+3，x2=2^n2+3，代入方程①， 有 3（2^n1+3）+1=2^n1（2^n2+3），簡化得到，2^（n1+n2）=10，矛盾，故假設 x1，x3 非互異是不自洽的，x1，x3 互異得證。同態同構關係都具備傳遞性，若 a=b，b=c，則 a=c，但互素互異不具備傳遞性，a=3 和 b=5 互素互異，b=5 和 c=3互素互異，但a=3和c=3並不互素互異，僅在特殊情況下，互異具備傳遞性， 如以上考拉茲迭代函數情形，已證x1，x2 互異，x3，x2 互異，可得到x1，x3 互異。 於是x1，x2，x3，…，xk存在互異傳遞性，當然該類傳遞性不象等量傳遞性那樣形成閉環，而是非閉環的。這樣每次迭代出路就只有兩種可能，一是最後變大存在無窮迭代，二是最後變小獲得奇數 1，終止迭代延伸。

因相鄰解集有互異傳遞性，故所有解集中的不共素因子具互異傳遞性，即其中任意項同其他所有項都有不共素因子，於是可判定考拉茲迭代函數是素數迭代函數的條件映射，即滿足乘法交換律的映射。考拉茲迭代函數是： f（f（x））=（3x+1） / 2^i（x 為奇數，i為被除數中所有 2因子的個數）；根據迭代函數所有解集中的不共素因子具互異傳遞性，可判定每次所有解集都有不共素數因子，故函數蘊含互異素數基礎解系。素數迭代函數是：f（f（p））=p+2k;通過線性算子f（f（u））作用f（f（p））=p+2k，就可得到f（f（x））=（3x+1） / 2 i（x 為奇數， i為被除數中所有 2因子的個數）。考拉茲迭代函數每項都有不共素因子新增，一旦不能，就終止繼續迭代了。因此它是素數有限長數列且滿足乘法交換律條件下的映射。

考拉茲迭代函數具有相鄰互素性，每項解必兩兩互素；

考拉茲迭代函數具有互異傳遞性，每項解都含新素數；

考拉茲迭代函數具有個數有限性，每項解有更小迭代。

綜上所述，根據素數「定差」方程中的素數數列有限長；可知素數「通項」公式中的素數數列有限長；繼而可知素數迭代公式中的素數數列有限長；還知道，考拉茲迭代函數每次所得到的奇數解集是有限長素數數列的條件映射；最後得到與素數迭代公式映射的奇數迭代公式其奇數數列必有限長。用代數思想證明考拉茲迭代函數不會無限迭代，比用解析方法進行概率判斷要精準得多，因為用概率的方法有時得到0%和100%的結論都不能肯定是否有例外的情形，只能解決幾乎的問題，而不能完成最後的終極證明。

（參考《考拉茲猜想：互素迭代函數與冪尾數周期律》一文中的p156第3行前後內容。）

 

     以上分析說明了，相鄰思想是解決很多數論問題的幕後引擎。不同的互異相鄰關係決定了會出現不同的數學模式。這是我們需要細心區分的一件大事。相鄰思想教會了我們不要墮入邏輯自循環，不要去循環定義，不要始終封閉我們的認知，暫時的封閉只是我們創新的參照系。發展中的樣本空間若封閉了，我們思維的活力也就僵化了。我們要從內心深處相信：德不孤必有鄰。（文/羅莫）