《數學底層引擎相鄰論和重合法》序言

序 言

研究線性離散量的緊鄰關係，本書有重大突破，以此為工具對加性數論領域的一些久未解決的猜想，作者羅莫宣稱完成了一系列存在性證明。緊鄰素數能產生匹配的緊鄰偶數，這是哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）（下文有時稱為哥猜）和黎曼猜想（Riemann Hypothesis）；差值為2的緊鄰素數可無限列舉，這是孿生素數猜想（Twin Prime Conjecture），以及梁定祥猜想；給定數的分拆與分解有著神秘關聯，這是ABC猜想（ABC Conjecture）和費馬猜想（Fermat's Last Theorem）。線性相鄰自然數的差值變化會帶來各種非線性相鄰離散量的差值變化，而線性離散量一旦能生成非線性離散量，無窮無漏的離散量就成了對接連續量的樞紐。由此打開了一扇由離散量精準通往連續量的大門，任意給定數的後繼素數不再撲朔迷離，而是有跡可循。

作者認為，次第分明的離散數學重在區分加性生成元「餘數」， 光滑平坦的連續數學重在區分乘性單位元「導數」，欲深刻理解它們，會發現都跟相鄰思想以及同根思想有關。

羅莫將兩者相結合的研究方向，有力提供了可解決某些數論問題的有效途徑，這本《數學底層引擎相鄰論和重合法》手稿所帶給我們的驚喜當然遠不止這些。這意味著在某種條件下，NP問題可以用P迭代表示，線性邏輯與非線性邏輯的相互關係可用一個相鄰迭代函數f（f（x））表達。這種相鄰擴域迭代不同於一般封閉迭代。

現代國際數論研究自陳景潤發表「1+2」的論文後，鮮有重大突破，直到1994年安德魯•懷爾斯（Andrew Wiles）宣告攻克了費馬猜想，數論界仿佛又重新看到了破解哥猜的希望。

2004年華裔數學家陶哲軒在這些領域有些重要進展，發表了《素數等差數列可任意長》，成為狄利克萊定理的補充，為此陶哲軒贏得了「菲爾茲數學獎」，後又發表了《每個大於１的奇數都可以用不超過５個素數的和表示》。莫小看這個命題，事實上這個結論遠比蘇聯數學家維諾格拉多夫(Vinogradov)的「1+1+1」重要得多，因為畢竟不是「偶數充分大」等限制條件下的局部命題；同樣的原因，它也比陳景潤的「1+2」重要，當人工或計算機不可窮舉證明的時候，把充分大有限項交給枚舉驗證顯然是有缺陷的證明。而陶哲軒則跨出了紮實的一步，這位天才青年數學家給當代數論研究帶來了巨大的活力。有關這些素數的線性思考，對作者的代數數論研究啟迪較大。

再後來華人數學家張益唐在孿生素數領域取得重大進展，他用傳統的解析篩法證明了差值不大於7000萬的間隔素數對有無窮組，後又有數學家將差值下確界縮小到246。也有人輕視這個結論，認為只要不是針對原命題差值為2的緊鄰素數，都不算什麼孿生素數猜想。但從《數學底層引擎相鄰論和重合法》一書中，可發現藉助張益唐的結論，可快速拿下孿生素數猜想的證明，將差值的下確界抵達到最小值2時亦能成立，即差值為2的緊鄰素數對的確是無窮分布的。可見張益唐的發現等於搭建了一座橋梁。此外使用該結論做引理，還可幫助證明很多相關猜想。

儘管作者的證明可以繞過張益唐的證明環節，獨自證得孿生素數猜想，但張益唐的證明無疑是將數論研究大大地向前推進了一步，沒有理由不對這些偉大數學家的傑出貢獻心悅誠服。2019年作者結集出版《數學底層引擎相鄰論和重合法》，作者的證明可謂獨闢蹊徑，很多步驟雖然都是初等的方法，但極富簡潔美。根據奧卡姆剃刀原理（Occam's Razor），一個問題有多種解決方法，那最簡單的解決方案一定是最合理的，它的新穎獨到之處是一系列的美妙組合，雖然單獨拆開看都極為平常。其實，張益唐和懷爾斯的數學證明都一樣，張益唐用的是大家皆認為榨不出油水的解析篩法，把它改進成新工具的就是「存在常數C間隔的C個素數組有無窮多組」；安德魯•懷爾斯用的是橢圓曲線方程和模表示，這都沒什麼特別的，可經過數學家的巧妙組合，就解決了大難題，我們不得不為之震撼。

作者的證明採用的是重合法和相鄰論，要說這也不是什麼特別的數學新工具，它繼承了代數之父花剌子米（al-Khwārizmi，約780－約850）所著的《通過還原和平衡進行計算》一書的傳統精髓。看明白了就會發現，它其實是兩個數學定理（含公理）的等價表達，一個是反映互異互素的思想，有限個素數相加可獲得所有偶數，顯示了皮亞諾公理（Peano Axioms）的加性特徵；一個是反映同態同構的思想，有限個素數相乘僅獲得局部偶數，顯示了算術基本定理的乘性特徵。只是在描述對象上稍微有點差別和側重。作者對重合法和相鄰論有個通俗解釋，定義基數1分出單位元就是重合法，是更深刻的平衡；歸納序數1選出生成元就是相鄰論，是更深刻的還原。還原是尋找次第關係，是更深層的平衡，正如整體是尋找更深層的還原一樣，平衡是尋找等量關係，是更表層的次第。相鄰論就是用互異互素的思想關心數學底層部件，重合法就是用同態同構的思想關心數學底層元素，作者就是利用這兩個最基礎的數學公理和定理解開了一系列的數論難題，可謂令人大開眼界。

羅莫在加性組合數論領域的特別關注，是出於對原初法則的重視。他拿走迷宮來闡釋他的觀點，當走迷宮發現自己無路可走的時候，我們的最佳選擇是什麼？是往後退，回到之前緊鄰的道路分岔處。如果這個分岔處依然讓我們無路可走，我們會怎麼想，進一步回到之前緊鄰再緊鄰的道路分岔處。如此這般還都無果的話，繼續按迷宮右手法則，這個時候，我們就會想到正在回歸迷宮樹的根本，一次次從更本來的初心出發另闢蹊徑。而相鄰加法運算就是數學四則運算最原初的根本運算，一切算法皆從此出。時空中的梯度變化比曲率變化更為原始，這就是為什麼羅莫的數論研究要從加性數論入手的原因。

哥德巴赫猜想是加性數論問題，孿生素數猜想是加性數論問題，華林問題（Waring's Problem）、吉爾布雷斯猜想（Gilbreath Conjecture）也都是加性數論問題，另外齋藤猜想（Saito's Conjecture）、波利尼亞克猜想（Polignac Conjecture）、強伯特蘭猜想（The Strong Bertrand Conjecture）、n生素數猜想、考拉茲猜想（Collatz Conjecture）全都是加性數論問題。之所以能產生多米諾骨牌效應，相鄰論可以相繼窺探到30多個世界幾百年未解的數論猜想秘密，是因為它的原理處於加性數論的核心。自然數的離散緊鄰變化可以帶來離散非緊鄰變化之間的關聯，這一重大發現可以跟微積分的發現相媲美。雖然自然數的緊密連續仍屬於離散量，但該離散量是有效接軌連續量的樞紐。

當年牛頓（Newton）和萊布尼茨（Leibniz）通過研究因變量和自變量之間的細微緊鄰差商問題而建立了微積分，為數學計量帶來了巨大的突破，推動了英國工業革命；黎曼（Riemann）非歐幾何則催生了廣義相對論和能源革命；布爾代數（Boolean Algebra）則帶來了世界信息革命。而數論領域的相鄰變化則更加微妙，對人類研究時空本性將提供許多有力的新證據，它將啟迪人類的靈性解放和帶來價值劇變，為前沿物理學中的超弦理論、凝聚態物理和長程量子糾纏提供數學基礎。作者的有效突破是其鄰函數的發現。在證明例外偶數是空集時，利用了abc三元本原解方程互異互素的關係，在整數鄰域和整數子群之間找到了布控素數的核心引擎。同時利用鄰函數也證明了多對素數連和與一對素數連和等價，相鄰論找到了其幕後推手，那就是，三元互素方程的基礎解系是捕獲可表偶數的充分條件，也是捕獲可表偶數的必要條件。用選擇公理可推導出一個重要結論：在二元自變量互異的奇素數域中，若「2cf（x/ 2+y/ 2）=af（x）+ bf（y）」存在，則「任何線性空間都有素數基底」，因為通過外積線性映射以及內積線性映射的還原，以及通過可表偶數之定義可得到原函數的一組素因子基底方程（2m=x+y），這個判定非常強大，由此可推演出例外偶數是空集。

基於以上結論，作者發現了多維空間區分數公式（L(n)=2^n），作者藉助於費馬（Fermat）素數模型，找到了可以將一維空間與多維空間等值的鏈條，為發展幾何數論提供了一個美妙工具。此工具可以用來解決最優化問題，作者華麗地證明了四色猜想（Four color theorem）、蜂巢猜想、六度分隔理論、龐加萊猜想（Poincaré Conjecture）、克卜勒猜想（Kepler Conjecture），當然這些證明是否有漏洞還需要數學共同體的最後驗證。這些猜想原來都受制於一維空間的素數分布規則：那就是哥德巴赫猜想，兩項素數相加足以得到全部偶數，無須更多項，也不能少於兩項。這種區分法則無處不在，上天是按最優化法則設計宇宙的。

作者的數論興趣非常廣泛，對積性數論和加性數論捆綁在一起的數論問題也進行了廣泛的研究。比如，波文猜想（Bowen's Conjecture）、完美立方體問題、考拉茲猜想、卡塔蘭猜想（Cattleya Guess）、皮萊猜想（Pillay Conjecture）、費馬猜想、比爾猜想（Beal's Conjecture）等，這些猜想都跟高次方程有關，是研究素數積性關係的。關於積性關係的奧秘，作者有一個重大發現，就是洛書定理，洛書定理發現素數積性關係中的冪尾數周期規律，這個規律與橢圓曲線方程和模表示有等效關係；洛書定理是那麼的簡潔優美，這雖歸為古人的發現，但如果沒有作者的數學覺醒，還不知道這是一個非常有用的數學定理。用洛書定理可以判定方程的值域和定義域範圍，不能不說是一個美妙的視角，橢圓曲線方程的時鐘解同洛書定理的冪尾數周期有異曲同工之妙。這就是為什麼懷爾斯能解決費馬大定理，羅莫也可以用初等工具解決的原因，且更加簡潔，不說它一定是當年費馬的奇妙證明方法（若真有的話），想必也一定是非常靠近那個奇妙證明的其中一個解法。

羅莫用素數積性的冪尾數周期規律判定方程的定義域和值域，相繼證明了考拉茲猜想、費馬猜想、比爾猜想等五六個猜想。這些猜想可都是數論領域的花崗巖、老頑石。如此輕巧拿下，實為奇妙。為此他特別感謝古聖先賢的智慧，的確到了文化發現需要重新回歸仰視傳統的時候了，那些習慣對古代東方數學持輕慢態度的論調可休矣，中國古人的一種序化數學具有深刻的代數傳統，數學家吳文俊把它歸結為「機械化算法」，裡頭有很多寶藏值得大挖特挖，其隱含了某些有待開採的前沿數學。相信本書的出版會帶來中國傳統數理文化的復興。

需要用高端數學工具來研究的黎曼猜想和ABC猜想，作者也拿來大卸八塊地進行探究。大多學數學的人都對黎曼猜想和ABC猜想青睞有加，因為只有數學中的貴族才敢拿此問題來討論研究，它牽涉到諸如複分析、抽象代數等數學工具。羅莫不盲目跟進前人的足跡，而是另闢蹊徑找到等價轉換關係，把「問題旅遊」出去，複平面坐標原來是可用一維等價表示的，不僅僅是有理數同自然數有一一映射關係。羅莫巧妙地改變和延拓了康託爾（Cantor）的判斷，複數與自然數也可以建立一一對應關係，不僅僅限於代數數，否則數學歸納法會在非離散數學領域失效。

作者找到了充分的理由證明康託爾的無理數對角線證明「矮化」了一個概念，即用「可交換」屏蔽了還有「不可交換」的深層意義，這裡並沒有否定康託爾集合論的意思，而是看到了有兼容發展的空間。對線性相鄰與非線性相鄰未加區分，在生成兩類數學對象時濫用了同時性，若把「同時」歸還為「依次」，可讓希爾伯特（Hilbert）旅店重放光彩，聰明的公主一樣可以無限招待好某些超越數貴賓以及源源不斷的新數稀客，使其定有對應的客房。因此通過解放算法，可以把很多超越數「策反」回歸到可數對象中。當然事後把「策反」規則羅列進去，在算法裡封閉，那新的超越數依然會存在。

當完成朗蘭茲（Langlands）綱領式的轉換後，黎曼猜想就是哥德巴赫猜想了，而且哥德巴赫猜想的勢略大過黎曼猜想，黎曼猜想即便成立，也不能直接證明哥德巴赫猜想成立，須在問題條件外加點代數佐料方可完成證明；而哥德巴赫猜想成立，黎曼猜想即成立，當然也需要加些複分析引理輔助證明，但在問題條件內。這讓好多大數學家認為哥德巴赫猜想是個孤立問題的看法有些汗顏。其實往往越貌似孤立的問題，其幕後的廣泛關聯越深刻。

當然我的理解也只是一家之言，希望讀者自己去閱讀判斷，羅莫在本書中完成證明了很多猜想，這裡就不一一介紹。作者還在一些猜想中留下了一些有待解決的問題，以供同仁鑽研攻克，比如吉爾布雷斯猜想中各項差值符號判定能否找到表達式，並證明之。這是最終構造性證明後繼素數公式的最幕後撒手鐧，估計這個高效迭代公式一旦找到，有些陷門函數中的反問題就會變得快速可解，這將直接威脅到全世界某類銀行未跟進升級的RSA加密算法。因此素數探索之路還遠未完成，素數中的素數規律還有待進一步探索，也只有在素數研究面前永遠保持童真，我們才能領略到海洋般不斷綿延的喜悅。

南方科技大學數學系副主任 李景治教授