數學家有個驚奇的發現，黎曼猜想如果成立，屬於NP完全問題的素數判別和整數分解必存在多項式算法。而廣義黎曼猜想通過相鄰論已獲存在性證明，11月4日的澎湃新聞發布過該論文《希爾伯特第八問題有望終結：黎曼猜想獲證！》，有60萬點擊量，詳細內容可查閱作者羅莫新出版的數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》（深圳：海天出版社）一書。可見NP完全問題與黎曼猜想緊密關聯，且知黎曼猜想又是由互異版的哥德巴赫猜想在幕後操盤的。如果說物理學的前沿屬於量子論和相對論的統一和細分，那數學前沿則是，離散量和連續量的統一和細分，連續統就是關心該問題的，而連續統的真正解決是和NP完全問題有千絲萬縷關聯的，即離散序列與非離散序列之間的映射問題。種種跡象表明，數學大統一的徵兆來臨。數論中最基本、最古老而當前仍然受到人們重規的問題就是判別給定的整數是否為素數(簡稱為素數判別或素性判別)和將大合數分解成素因子乘積(簡稱為整數分解)。數論與其它分支以及與物質世界各領域的聯繫，通過這些橋梁也就全部打通了。而本文要告訴讀者的就是，「線性空間必有二維素數基底」的思想是如此的重要，它可以多米諾骨牌式地解決一系列久未解決的重大猜想，攻克整數分解和分割問題也是基於這樣的思想。
素數規律是人類的加密解密工具，也是大自然的加密解密工具。
寫在前面素數的探索在歷史上可以最早追溯到古希臘的歐幾裡得，他證明了素數有無窮多個；也可以更早追溯到古華夏伏羲時代陰陽互異的思想，無論多大的對象都可以陰陽互異分割，無論多小的對象也都可以陰陽互異分割，多組陰陽合併後仍然是一組陰陽，任意條雙結繩文都能用一條雙結繩文的標題表達。這與互異版哥德巴赫猜想極其相似，f(f(p+q))=p+q+2，可表偶數互素的生成對象依然是可表偶數，每次互素，但解集等價，而例外偶數，與解集互異，除每次互素，且須與每個可表偶數都累積互素，故為空集。可見任意後繼多組陰陽都能被一組陰陽所刻畫，沒有例外，一組陰陽若不能刻畫任意對象，那多組陰陽也不能刻畫任意對象，即心外無物。天下蒼生皆有一父一母，若無，即便多父多母也生養不出，陰陽學是世界的基底，可同態分割出小素數的大素數叫陽，與大素數局部同構的小素數叫陰，陰陽是兩類和而不同的素數，陽，顯示了相鄰性，不同；陰，顯示了重合性，不異。中國上古易文化的陰陽分割，不是可表偶數與例外偶數那樣的完全互補分割，而是象大素數小素數那樣的陰陽共存分割，如同女媧伏羲象徵圖那樣蛇身連體。
陰陽互異同根思想是東方傳統文化的基底，也是現代數學思想的基底。
中國古人雖沒有對素數進行精準定義，但對素數進行了存在性使用，陰陽思想遠高於2進位思想，它是底層基於2進位，又不限於2進位的體系，2進位僅是陰陽理論的一個基本應用，八卦就是單位元可以變化的2進位，陰爻陽爻是2進位，但上卦下卦是8進位，而前卦後卦則是64進位，即基底始終是二進位，而對基底的線性映射是完全開放的，基底是離散量，算子可以是任意連續量，高維線性空間必有二維素數基底，易經更符合離散數學的發展，難怪波爾是如此地推崇太極，即單位元不是唯一視角的，但都離不開二維素數基底。二維素數基底及其映射，量子力學把它叫著不相容關係，不確定關係，不對稱關係。
素數問題曾經吸引了包括費馬(Fermat)、歐拉(Euler)、勒讓德(Legendre)和高斯(Gauss)在內的大批數學家，他們花費了大量的時間和精力去研究這個問題。高斯在其著名的《算術研究》(《Disquisitiones Arithmeticae》)中稱道：「把素數同合數鑑別開來及將合數分解成素因子乘積被認作為算術中最重要最有用的問題之一。如今拓撲學在向低維發展，代數幾何在向算術幾何發展，在向一個因子的素數靠攏，而合數則是多個因子的數，可以把素數理解成低維數，合數可以理解成高維數，圖論和數論都在向低維挺進。一個高度有序的世界，必須要去關心更低維的對象和開放的算法，如此才能提高我們的解析度。
高斯：科學的女王是數學，數學的女王是數論。
素數判別和整數分解這個問題具有很大的理論價值。因為素數在數論中佔有特殊的地位，鑑別它們則成為最基本的問題；而把合數分解成素因子的乘積是算術基本定理的構造性方面的需要。人類總是有興趣問如下的問題：(2^31)-1是否素數？由10個1組成的數是否為素數？4568965715743是素數嗎？若不是又怎麼分解。對素數判別和整數分解的研究必然會推動數學的整體發展，一個國家數學水平的高低，可以看圓周率發現到了哪一位，更可以看找到的最大素數有多少位。素數判別和整數分解不僅可應用在密碼學中，宇宙和心靈世界中的一切探秘都跟素數規律有關，大自然的奧妙也是用素數加密的。
1.1.RSA加密技術需要探索素數的秘密物質世界的保險箱可以用鑰匙打開，也可以用暴力打開，思維世界的保險箱則需要時間成本和空間成本才能打開，時間成本和空間成本比暴力更難對付。基於時間複雜度，空間複雜度，加上陷門函數，於是就有了加密解密算法。RSA，ECC算法就是這麼來的，區塊鏈加密技術就基於橢圓曲線ECC算法，其原理都來自於分解分割帶來不確定性而增加了複雜度，而握有密鑰的解密者可消解不確定性。1977年，魯梅利(Rumely)、希愛默(Shamir)和艾德利曼(Adleman)發明了一個公開密鑰碼體制，用他們名的首字母命名為RSA。在這個密碼體制中，對電文的加密過程是公開的，但是，你僅知道加密過程而未被告知解密過程則不可能對電文進行解密。他們的體制就是依靠這樣一個事實：我們能夠很容易地將兩個百位大素數乘起來；反過來，要分解一個200位的整數則幾乎不可能，超過400位，計算機已經不能承受。
區塊鏈的加密技術基於構造橢圓曲線方程具陷門函數性質。
也就是說，打碎鏡子易，破鏡重圓難，順水行舟易，逆水行舟難，黑沙白沙混合易，黑沙白沙分開難。熵增易熵減難。這種順向求解易反向求解難的函數，就叫陷門函數。因此RSA體制就與素數判別和大數分解有密切聯繫。首先，要具體建立一個RSA體制就需要兩個大素數，因而就涉及到尋找大素數的問題；而RSA體制的破譯之可能性就依賴於分解一個大數可能性。於是，RSA體制的建立與破譯就等價於素數判別與大數分解問題。多元自變量較容易得到一元因變量，一元因變量不容易得到多元自變量。某分支出發找幹道容易，幹道出發找某分支難。而素數判別和整數分解就相當於如何最優化判別不能摺疊和花樣摺疊問題，而不是定能摺疊和單樣摺疊問題。突變的世界比均變的世界更有意思。
近來，由於計算機科學的發展，人們對許多數學分支的理論體系重新用計算的觀點來討論。從計算的觀點來討論數論問題形成了當前很活躍的分支計算數論。而素數判別和大數分解成為這一分支的重要組成部分。在這一部分裡提出了兩個重要的、懸而未決的問題：是否存在判別素數的多項式算法？是否存在分解大整數的多項式算法？已知道「分解整數」這個問題是一個NP完全問題，因此對上面第二個問題的討論是解決計算機科學中的難題：「NP完全問題是否一定是多項式算法可解的？」的一個突破口。因此，素數判別和大數分解對計算機科學來說也是很有價值的。我們知道整數分割和整數分解是有密切關聯的，整數分解是NP完全問題，同樣整數分割也是NP完全問題。但隨著哥德巴赫猜想的獲證，整數分割問題說明存在多項式算法可完成該任務。而分割問題是與分解問題緊密關聯的。
這是一個千禧年七大猜想之一的難題，它關聯的是一個共同的卡點，這個卡點就是「能否理解心外無物」。
歷史上解決該類問題基本靠暴力枚舉。最直接的素數判別和大數分解方法就是試除法，即對整數n，用2，…，n-1去試除，來判定n是否素數，分解式如何。這個方法是最簡單的一個方法，古希臘時就被人所知，但這個方法對較大的數就要耗費很多時間。在本世紀四十年代電子計算機出現之前，儘管產生了許多素數判別和大數分解方法，但因為用手算，速度太慢，很多方法在實用中即使對十幾位的數也需要好幾天，而對更大的數就無能為力了。隨著計算機的出現及發展，人們開始用這個有力的工具來研究素數判別和大數分解。但在算法上一直沒有什麼較大的突破。
到六十年代末期，已產生了許多新方法，歷史上的許多方法也得到了應用，使得對四十幾位數的素數判別可以很快得到結果。而到七十年代末，數論學家和計算機專家們已深入地研究了這個問題，得到許多實際有效的方法。用這些方法在較好的計算機上判別一個100位數是否素數只需不到一分鐘；分解70位左右的整數也是日常工作了。這些成果已引起人們的普遍關注。在這個領域中的研究空前活躍。雖然離問題的徹底解決還很遠，但在本領域中已取得了一個又一個的突破。在這方面的研究必有光輝的前景。
九章量子計算機的問世說明了東方重代數的數學開始展露復興的曙光。《歐氏幾何》代表平等探索空間的傳統，《九章算術》代表次第探索時間的傳統。
最近量子學特別火，跟量子學建立120周年有關，尤其是九章量子計算橫空出世，更是讓世人驚豔了一番，量子計算分解素數的能力更強大了。有人會問，量子計算來了，密碼還有用嗎？這是一個水漲船高的問題，量子計算來了，人類找到大素數的時間更短了，存儲大素數的空間更小了，加密手段解密手段更高超了，密碼學當然照樣存在。只不過是沒有緊跟時代的就要小心了。再說，量子計算的發展，還有漫長的路要走，有的是時間應對，物質技術的手段不足懼，倒是算法革命需要好好關心下，有沒有找到絕佳的思路可以快速分解大整數，這是我們要急需思考的，可我們多半不捨得在此花錢改進，高新應用技術則願意大把砸錢。這個其實好理解，思想的突破有時候花了錢也不會有什麼突破，而不花錢倒是突破了（其實隱性投入巨大，不知回報會吃虧的），技術的突破只要願意投入，總會有收穫，各取所需大體成本是可以撈回的。造富需要物質成本，而開智一樣需要成本，需要記憶成本，歸根結底都是注意力成本。而素數就是注意力成本的度量工具。一個人若能在高層次上覺醒，一定是一個富有的人。因為物質和能量最後都要歸結為信息和念想。素數，就象中國人心目中的龍圖騰。任意對稱空間，都可以分割成過去和未來陰陽兩截素數線條（費馬螺線）來充滿。
費馬螺線表明高維空間都在一維線性表達中，我們把線條看作平面，費馬螺線就是三維空間，並可依次遞推到無限高維。分解高維，其本質就是分割一維。這就是線性空間必有二維素數基底的原因。
1.2.用相鄰論和重合法進行素性判別漢語的「素」字，很奇妙，高度抽象。「素」：本義，沒有染色的絲綢。素是指先天的東西，本來就有的東西。本可造末，末不可造本。素可造染，染不可造素。悟能覺迷，迷不能覺悟。關於追本溯源好多關鍵詞是用「素」來構造的，素女，素色，素食，元素，素材，黃帝內經有素問，感覺清一色都是清純本有的東西。有些天賦稟異的人，對素數有不一樣的視覺數感，研究其幕後的神經元傳輸機制，想必對素性判別有用。素數這個概念，早在公元前很多世紀就為人們所熟知。它是構造數學世界的基本單位材料。後來人們發現所有自然數都是由素數乘起來得到的。歐幾裡得證明了素數有無限多個，因此，任意大的素數都存在。可是，在自然數的序列1，2，3，……中，素數和合數混雜在一起，對前數千個素數的分布之考察發現素數的分布沒有規則，因此，鑑別一個自然數是素數還是合數就成為問題。這個問題在中世紀就引起人們的注意，當時人們試圖尋找素數公式，到高斯時代，基本上確認了簡單的素數公式是不存在的。如今更能肯定有限元有限次運算的素數通項公式是不存在的。
素數，理解宇宙奧秘的基本語言。
在那時，即使對一個十位數的整數來作素性判別都是相當困難的，因此，高斯認定素性判別是數論中最困難的問題之一。從此後，這個問題吸引了大批數學家，但當時的人們沒有計算機這個有力的工具，對一般十位以上的數都束手無策。因此，他們或者只對很特殊的數作了些研究，或者，對素性判別作了一般性討論。而真正用得出的結論去判別一個大數是否素數時，常常因為計算量太大而歸於失敗。到本世紀初，手搖計算機的產生幫助了象勒默等人發展素性判別。而在1950年之後，由於電子計算機的誕生，數學家們又將注意力轉到素性判別的問題上來了。目前，這個分支已經產生了很多好結果。我們可以看看最新進展。
用重合法和相鄰論來研究素性判別，有一個重大進展就是，可以精簡大量的篩查工作，因為沒有二元素數解系必無通解，基於這樣一個判定，可以節省大量的算力。連帶而來的一個重大進展就是素數判別除了用是否能分解外，還可以用互素分割來判別，一個數不能用等於或小於其平方根的因子構造，故它必是素數。一般都是用試除篩查，但也可以用互素分割篩查，比如判定7是否為素數，可以把7互素分割為2+5，4+3，因為7同2和3互素，且2和3囊括了小於根號7的所有素數，故7是素數。若存在非互素分割必為合數。這樣就把判定大數是否互素轉換為判定小數是否互素。再舉一個例子，判定97是否為素數，可以根據其同小於10的素數是否互素來判定，於是開始互素分割97為小於10的兩個素數子階乘之和，30×3+7，可見97同10內的素數都互素，於是可判定97為素數。判定143是否為素數，可以根據其同小於12的素數是否互素來判定，於是開始互素分割143為小於12的兩個素數子階乘（或界內素數乘積）之和，140+3，110+33，可見143同12內的素數非互素，於是可判定143為合數。從工作量看比逐個試除大大節省了算力，這種互素分割法也叫釣餘分割法。以給定數平方根內的多個素數的乘積為誘餌，再看分割出的餘數是否互素。該算法，不會產生指數時間，同黎曼猜想成立，大數分解便有多項式算法相一致，目前尚未見教科書和公開論文有介紹，故極有價值。該算法的時間複雜度f（n）粗略估算在：O（2n+2(n^1/2)）<f（n）<O(n²)的範圍裡。從更優化的角度出發也可在O（logn）的多項式時間內判明n是否為素數。
素數之旅，就象攀登喜馬拉雅山峰，一路波譎雲詭，卻綺麗妙曼。
1.2.1．素性判別素性判別的算法是指一個算法，用它可以判別任意一個自然數是否為素數。迄今為止，素性判別的方法有很多種，但它們有共同的形式，我們試將它們從總體上來討論。
欲要尋求一個素性判別的算法，應先注意到素數所應該滿足的一些性質，即一些必要條件。根據這些性質設計出一個條件組(也稱試驗組)。這個條件組有兩個特點：凡是素數就滿足條件組中的每個條件(也稱為通過條件組)，凡通過這組試驗組數，若不是素數，則它必有一個真因子落在某個特定的集合中。現對任給的數n，先看n 是否通過試驗組，如果不通過，則n是合數；如果通過，則其可能的真因子有一個落在特定的集合中。然後，用這個特定的集合的每個元素去試除n，若有某個元素不等於1和n且整除n，則n是合數，否則，n是素數。
到目前為止，教科書仍然沒有一個素性判別的多項式算法，換言之，沒有一個素性判別的算法，它對n執行時的計算量是O(P(logn))，其中P(x)是多項式函數．「是否存在素性判別的多項式算法？」是一個沒有解決的公開問題。人們偏向於說存在素性判別的多項式算法，但至今沒有找到，也沒有存在證明有該算法。通過用重合法和相鄰論分析，素性判別的多項式算法是存在的，並且該判定可得到數理邏輯的存在性證明，說明存在性已經不是一個猜測了，而是真的有。但該證明不是構造性證明，因此仍然拿不出明確具體的多項式算法解決方案。對前期探索者而言依然沒有能拿來套用的多項式算法，但對集結成果的後人，是一定存在多項式算法的。在已有的判別算法中，或者f(n)不是logn的多項式，或者g(n)不是logn的多項式。因而要得到一個素性判別的多項式算法，就需要設法使上述的f(n)和g(n)都是logn的多項式。從目前構造的算法看，時間複雜度在O(nlogn)<f（n）<O(n³)內。
多項式時間指的是一個算法的複雜度，在時間複雜度的計算中常用的時間複雜度按照耗費的時間從小到大依次是：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)（以上底數2省略）。只要算法的複雜度不會是最後兩個指數或者階乘型，前面的O(1)到O(n^m)（m為常數）任意組合都算是多項式級的複雜度；而O(2^n)，O(n!)型複雜度，就是非多項式級的，問題規模較大時，計算機也很難算出結果。所以我們一般會選擇多項式級複雜度的算法。素數判別和大數分解讓我們看到不僅是NP問題，也是P問題的希望。
根據重合法和相鄰論，我們對素性判定有一套新的思路。其方法是，對給定大整數，進行不等量分割，切割出近似給定對象平方根的數，並用界內素數構造，對較小的餘數部分進行素數比對篩查。我們權且把它叫著釣餘分割法，以素數子階乘或乘積為誘餌。比如，要判定14356771是否為素數，可用該數減去一個接近該數的素數子階乘，僅需算14356771-（P！）看有沒有P！中包含的素數，若沒有，繼續用該數減去一個接近該數的素數後繼階乘，看有沒有P』！中包含的素數，持續用小於14356771^1/2內的素數子階乘篩查，若都沒有，那定是素數了。在此基礎上不斷添加些技巧（即素數階乘與位數的對應），就可以加速判定給定數是否為素數。這種
釣餘分割法，有一個重要的優勢就是，可以將篩查的標杆一鍋端，或分幾鍋端便可，無疑是步槍換成了大炮，大大節省了空間和時間。
釣餘分割法，是素性判別算法，就象姜太公垂釣渭水，能直鉤分開還能牽引來的才叫真上鉤。釣餘分割法，通過素數互異分割篩查來找到目標。
大數分解和素性判別，其方法大體是相同的，同樣可以用釣餘分割法來分解大整數，不同點是已預先知道所給對象是大合數，如果知道素因子的個數，更可以將篩查標杆範圍縮小，同樣是構造一個界內素數乘積之誘餌去分割該大合數，從而可得到一個可方便判別素因子的數，然後互異的界內素數繼續構造誘餌進行互素分割，可快速鎖定目標。加密用的合數，考慮到用小素數因子比較容易被篩查出來，可直接用大素數乘積做誘餌進行互素分割篩查。比如n^k-p!=t，令k所取值使n^k接近p!，如果不用k指數，還可用2冪數做n的係數，再看t的素因子在哪段素數區間，很快就能比對找到其中一個素因子。如果沒有就素數降界繼續篩查。以上篩查是基於素數表是已知的，如果是未知的，就把每一個素數算法添加進去。100內的素數可以篩查10000內的素數，若從2開始篩查，時間複雜度就是logn。於是我們可以基本判定，大數分解是存在多項式算法的。P與NP是存在等量關係的，這裡的NP特指多項式時間裡的NP問題。為什麼我們能得到這樣一個驚人的結果，因為我們解決了一個大問題，線性空間必有二維素數基底，無二維素數基底便無通解，這個結論，可以廢除大量冗長的不必要計算，這是我們可以得到漂亮結果的原因。這也進一步佐證了，哥德巴赫猜想獲得存在性證明，對計算機應用科學來說，也是意義巨大的。
1.2.2．費馬小定理與偽素數試除法出現之後，一直到16世紀，其間除了一些很特殊的、很局限的素性判別法外，沒有什麼重要的結果。但到1640年，法國數學家費馬首先注意到素數的一個性質，那就是下面討論的費馬小定理。這個性質是以後的所有素性判別法產生的根源，是指會用到大體相同的數論原理。
定理： (費馬小定理) 若n是素數，則對所有不被n整除的a，有a^(n-1)≡1(modn)。
證明：因為(a，n)=1，則a，2a，…，(n－1)a分別按某個重排順序模n同餘於1，2，…，n－1。故有a^(n-1)·(n－1)！≡(n－1)！(modn)。因為n是素數，因此n與(n－1)！互素，因此，a^(n-1)≡1(modn)。
我們將費馬小定理的另一個形式寫成下面的推論。
推論：若n是素數，則對任意的整數有a^n≡a(modn)。
對某個自然數a，1≤a＜n，要驗證(a，n)=1和a^(n-1)≡1(modn)是否成立，需要計算量為O(log3n)。因此，以對某些a，1≤a＜n，(a，n)=1驗證a^(n-1)≡1(modn)作為試驗組，將可能產生較好的素數判別法。為此，我們要來看n通過試驗組的話，n具備什麼性質。這就要考察一下費馬小定理的逆命題。
費馬素數。形如2^2n＋1的數稱為費馬數，記為Fn，若它又是素數，則稱為費馬素數，不是費馬素數的費馬數都是偽素數。早在17世紀，費馬驗證了F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537是素數。據此，他猜測Fn都是素數。費馬和萊布尼茨都相信素數有通項公式表達，這是沒有深入了解素數的結果。但到1732年，歐拉分解了F5：故費馬的這個猜測不成立。自此之後，人們對n=6，7，8，9，10，11，12，……，9448，23471證明了Fn是合數。然而，除前5個費馬數為素數外， 再也沒發現任何費馬素數了。因而人們更傾向於認為費馬素數只有有限個，但之前沒人對此作出證明。近年來，人們把精力放在分解費馬數上，沒人研究特殊的判別法來對費馬數作素性判別。
事實上素數無多項式通項可表，也不存在僅表有限個素數的多項式通項。標準的不可約整係數多項式皆可表無窮素數，也能表無窮合數，也就是說不能連續表達素數，但總能無限表達素數，有些看似不可約的除外，如x（x+1）+2就看似不可約，實質把該多項式可窮分為兩種情形，偶數2a和奇數2a+1情形，那x（x+1）+2=2a（2a+1）+2，顯然有2因子，或者（2a+1）（2a+1+1）+2，顯然也有2因子，總之x（x+1）+2定含2因子，屬於隱性可約多項式，a（a+1）（a-1）+3也屬於隱性可約多項式，不屬於標準的整係數不可約多項式。能至少表1個素數的多項式皆可表無窮素數，它們都是標準的整係數不可約多項式，費馬數就存在無窮費馬素數，儘管一直沒有發現新的費馬素數。費馬素數是否無窮可參考孿生素數猜想的證明。素數數列必須有限長，但素數數列組必須無限長，如果不是，會與波利尼亞克猜想相矛盾。具體證法可關注《希爾伯特第八問題有望終結：孿生素數猜想獲證》一文。任何有限項有限步運算的多項式都是波利尼亞克猜想的各種整係數映射變換，因此我們可以斷言，素數沒有多項式通項表達，但可表一個素數的多項式通項皆能表達無窮個素數。雖然多項式有可能把素數間隔拉得越來越稀疏，但再怎麼稀疏，素數仍然會無限延申。
說明通項表達所有素數是不可能的，但能表達素數的通項僅表有限個素數也是不可能的，有極限的，非發散型的通項除外。將不同類型的通項公式集結就能判定所有素數，也能分解所有整數，通項大致升級一個指數便能表達所有素數，可見素數判定能在多項式時間裡求解出。正是因為我們證明了通項能表達無窮類型素數，才讓我們相信，素數判別是存在多項式時間算法的。我們很多的數學困難問題，原來都卡在一個共同的問題上，該問題一旦解決，就可以多米諾骨牌式地解決一系列問題。真是數論領域無小事呀，有些數學家認為哥德巴赫猜想是個孤立問題的想法是欠深思的，它看上去的確沒有跨數學分支，題面簡單得象是給小學生的作業，但它對數學各分支卻有深遠影響，不得不佩服希爾伯特有深邃的洞察力，沒有他的推薦，就沒有這麼廣泛的重視。數學不是僅追求標準答案的，數學的追求是一切與標準不衝突的自由。因此破解陷門函數才是數學家們的興趣所在。
1.2.3．素性判別與廣義黎曼猜想1976年，繆內發現了素性判別與廣義黎曼猜想的一個深刻的關係。他得到的結果是：如果廣義黎曼猜想(REH)成立，則有一個算法存在。它對每個n，可在logn的多項式時間內判明n是否為素數。即存在素性判別的多項式算法，而且可設計出這個算法。
由此可見，只要廣義黎曼猜想成立，則素性判別的多項式算法是找到了的。但證明廣義黎曼猜想是相當困難的，這是數學家們一直關注的問題。這裡的討論也表明，素性判別是需要用較高深的方法來研究。而作者曾寫過《希爾伯特第八問題有望終結：黎曼猜想獲證！》表明了黎曼猜想是一個存在性可解問題，這就肯定了素數判別和整數分解是存在多項式算法的。黎曼猜想能獲證得關鍵是，經解析延拓出現了大量的負數項，擴域出來的數值是原解集光滑延申出來的，曲率保持不變的，而曲率的生成元是由複數解集中的實部決定的，Res唯有等於1/2時，才會與負數項同構，其它實部值都是同態關係。而這個判定來自，線性空間必有二維素數基底，不是更多維。這是黎曼猜想能獲證的關鍵。這個思想就是證明哥德巴赫猜想的思想，而能證明哥德巴赫猜想和黎曼猜想的數學工具就是相鄰論和重合法。重合法是一種數學變換工具，相鄰論是一種數學歸約工具，二者高度概括了數論的底層架構，故可用來解決許多數學難題，之所以難就是因為它同根本問題關聯，而我們對根本問題一無所知，才導致困難。以下就重點介紹下這兩個數學工具。
2.1.數學變換工具重合法加性數論中的一種數學思維工具，用於等價變換，通過擴域確定充要條件。提出者，羅莫，他在數論專著《數學底層引擎相鄰論和重合法》（海天出版社2019年）一書中闡述了萬物同根宇宙共存的觀點，與中國傳統文化天人合一相似，他用精準的整數（形式語言）來表達這一觀點（自然語言）無疑更能體現其抽象意義，更能代表其思想精髓。A和B兩個不同的對象，如果沒有明顯相同的交集，也沒有明顯同構的全集，那麼通過某種算法方式擴域定可找到相同的交集，定可找到同構的全集，這種數學思維方法就叫重合法。
比如兩個家族直接看上去，沒有親屬關係，但通過更廣泛的溯源，發現1000年前有共同的祖先，後人遍布個整個亞洲，那麼我們就說，A和B經過某種擴域有相同的延申交集，有相同的延申全集。再比如說，兩個奇素數之和是否與全體偶數同構，雖不可直接證明，但通過某種方式的擴展，就可判定兩者的根系是一定同構的，比如左邊僅用1對素數相加直接看不出與2n是否同構，但用n對素數相加我們就可根據算術基本定理立馬判定n對素數之和與大於2的全集偶數2n是同構的。進一步拓展，任何數集，其A中的基數1和序數1與B中的基數1和序數1總是同構的，A量子空間中的一維素數和高維整數與B量子空間中的一維素數和高維整數總是同構的，這就是重合法的數學思維。重合法是一种放開視野尋找深層等量關係的數學思維方法，它是貫穿性存在普世價值和傳世價值的數學底層引擎。通常用重合法來完成命題證明的築基部分。
素數二元加法和乘法運算，無論是否有交集，擴展成，任意個或同或不同素數p相加和任意個或同或不同素數p相乘，必有相同單位元和相同通解可刻畫，記為L（p）=alad∑pi=arad∏pi=n。
2.1.1.定義重合法（Coincidence Method）是加性數論能保值求解通項解集的底層引擎，是命題可等價變換的推理工具，是對象集合的空間橋梁，是方程可兩邊平衡的充要標杆。該數學工具是通過擴域和縮域來尋求等量對象的一種離散數學理論。該思想寫成論文最早發表在《數學學習與研究》（2013年3期）上，後經完善編入《深圳基礎理論原創文集（數學物理卷）》（海天出版社2017年）一書裡，再次整理後收錄於數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》（海天出版社2019年）一書中。作者用該數學工具嘗試證明了一系列久未解決的數論難題，如互異版哥德巴赫猜想，考拉茲猜想等，均有突破性進展。
2.1.2.歷史在思考如何解決哥德巴赫猜想時，催生出的數學新工具，通過擴域或縮域，找到更直觀的等價變換，從而為解決幕後問題築基鋪路。對稱是經典數學和現代數學中的重要概念，對稱就來自於重合，是通過重合來定義的，兩個對象通過旋轉、縮放、平移能夠實現重合的就叫對稱，通過躍遷實現重合的，也是一種對稱，而第一躍遷，第一對稱就是相鄰，重合是交運算的結果，可確定所有對象的單位元，相鄰是並運算的結果，可確定所有對象的通解。我們通過重合來理解主詞，明白我是誰，我們通過相鄰來理解謂詞，明白從哪裡來到哪裡去。故說，重合是變換關係，相鄰是歸約關係。用不同的視角觀察世界，就會呈現不同的真相；但會依然共一個真相。即便如此，底層還有不同的真相。相等與不相等是我們能前行的雙腳。
2.1.3推導過程尚不能判定互異奇素數p+q與全集偶數2n是否同構時，可先構造一個能蘊含p+q的對象同構2n，即p1+q1+p2+q2+p3+q3+……=2n，或根據伯特蘭-切比雪夫定理，可構造p+bq=2n為同構方程，也叫三項互素的不等量分割方程，其中p為大於n小於2n的全集素數，2n為大於6的全集偶數，互異奇素數p+q為可表偶數。
素數二元加法和乘法運算，無論是否有交集，擴展成，任意個或同或不同素數p相加和任意個或同或不同素數p相乘，必有相同單位元和相同通解可刻畫，記為L（p）=alad∑pi=arad∏pi=n。rad為無平方素因子運算，arad是其逆運算，lad為無相同素餘子運算，alad是其逆運算。不等量分割是探索熵減世界的方法論，等量分割是探索熵增世界的方法論。
2.1.4應用該等量變換可廣泛用於證明丟番圖數論問題。我們認知世界是通過推己及人而實現的，這就存在對單位元的選擇，選擇不同的單位元，便能看到不同的世界。黑箱裡薛丁格的貓是死是活，取決於觀察者的選擇，這說明選擇單位元的重要性，世界的真相是全然的，應有盡有的，但人所看到的，只能一份一份地從單位元中提取，所看到的始終是一個離散的整數世界，連續世界僅活在以整數為基本素材的想像中。先天的整數關係最為重要，正因為如此，數學家們才說上帝創造了正整數，其它是人的事情。
實數的連續性是通過戴德金分割來定義的，戴德金的思想之刀切割代數數會切到縫隙，即有時候會無相鄰量，而戴德金的思想之刀是一定能切到實數的，即刀的兩邊總有一邊存在實數相鄰量，以此來說明連續是存在的。近似性地允許共時相鄰，產生了連續，不允許共時相鄰，產生了離散。對共時相鄰進行不共時相鄰分解認知，就產生了量子力學。其實思想之刀切割連續量是能夠切到縫隙的，否則就不會有極限存在，也就無法通過極限來認知世界了，人是通過相鄰差異來認知空間延申的，如果發現不了差異，就感知不到空間在延申，這就是為何存在泡利不相容原理的數學背景。
連續量是用無窮項表達的，連續量的極限是可用有限項表達的，離散量是用有限項表達的，研究連續量終究是要回到研究離散量的，戴德金的思想之刀不佔空間的分割為連續分割，但離散量認為，思想之刀的厚度也是佔異質空間的，這樣連續量也就成了離散量。意味著精神可幹預存在。說明連續量僅是離散量的一種近似選擇。abc猜想就描述了這樣一種性質，離散關係是如何制約連續關係的。
如果相鄰論體現了離散的思想，那重合法就體現了連續的思想。重合法的思想有利於考察我們的空間世界。相鄰論的思想有利於考察我們的時間世界。重合法關心主詞世界，相鄰論關心謂詞世界。做人要平等，做事要規矩。相對平穩的世界是用重合法構造的。
2.1.5.影響及意義結合相鄰論可證明眾多久未解決的數論難題。如黎曼猜想，哥德巴赫猜想，孿生素數猜想，費馬猜想，考拉茲猜想，abc猜想等。重合法的核心思想體現了數學之橋的重要性，空間與空間的連接需要有一個相互可理解的過渡，而重合就實現了這一目標，我們要想使用更遼闊的資源，就要有相同的度量衡。歷史上東方世界的一體化是秦始皇完成的，而今的全球化浪潮是一次更廣泛意義上的單位元統一。朗蘭茲綱領認為數學發展更需要這種統一，當某一領域的問題不能解決時，可以等價變換到另一領域來解決，通過數學之橋可以逼近到一個最適合解決該問題的數學範疇中。這種搭建數學之橋的任務常常是用重合法來完成的，為何這麼說，因為數論是所有數學的樞紐，能夠把問題轉換到數論中來，那離解決就不遠了，數論中的新問題雖然很多，但數論是最為活躍的，解決問題的手段最為豐富。
因此如果有問題，能用重合法把問題同數論聯繫上，那會很快看到解決問題的希望。尤其是重合法與相鄰論搭檔能解決一系列丟番圖問題。伽羅瓦創建的群論也是潛意識從重合法思想出發的，他一開始思考的問題是解決五次方程是否全部有根式解算式表達，他對五次方程有全部根式解的條件進行了變換定義，他發現了根式塔，他發現了域擴張，這就是伽羅瓦群，然後對群進行了分類，最後發現不是所有五次方程都有實數和複數解，也就是說，伽羅瓦發現域擴張是開放的，因此對某些量的運算封閉是不足以表達多項式方程的所有解集的，因此複數條件下不能窮盡五次方程的所有根式解。
重合法就是通過已知和未知發生交集，通過交集獲得單位元，然後用該單位元去描述未知世界。群是通過單位元來產生對稱變換的，而單位元就是通過域擴張後的重合法獲得的。比如證明黎曼猜想時，如何將離散關係的等量變換為連續關係的等量，就用到通過域擴張而實現等價的重合法。解析延拓就是一種域擴張。
2.2.數學歸約工具相鄰論加性數論中的一種數學思維工具，用於次第歸約，尋找必要條件。提出者，羅莫，他在數論專著《數學底層引擎相鄰論和重合法》（海天出版社）一書中闡述了萬物有序天地井然的觀點，與中國傳統文化陰陽互異相似，他用次第的序列這一數學語言來表達用自然語言描述的宇宙觀，相對而言無疑是更圓滿的，更能代表這一思想的全貌。A和B兩類不同的對象，如果沒有找到交集到全集以及全集到交集的序列，那麼通過某種算法方式擴域定可找到深層次的交集和全集之間的關聯，找到最簡本原解就是通解的必要條件，這種數學思維方法就叫相鄰論。
比如，勾三股四弦五就是畢達哥拉斯方程的某一本原解，沒有本原解3，4，5解就沒有3n，4n，5n的通解。再比如，與可表偶數互異的例外偶數不能用兩互異素數之和p+q表達，那它一定也不能用兩互異素數之和的線性映射來表達，沒有一對素數之和p+q，便沒有其線性映射的通解p+bq。二維素數線性空間必有基底，該命題為真，否則會與算術基本定理衝突。進一步推廣，任何方程的解集，都必有最簡本原解A和通解B，其中A可視為單位元（即基礎解系），B為可滿足所有線性算子作用二元素數基礎解系所得通解，這就是相鄰論的數學思維。相鄰論是一種通過分解或分割通解從而得到必要條件單位元的數學思維方法，它是非貫穿性存在結界價值和能級價值的數學底層引擎。通常用相鄰論來完成命題證明的封頂部分。用該方法可以解決希爾伯特第八問題，包括黎曼假設，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想。
(p+q)(1+b)T=p+bq=2n,2n是全集偶數，p、q為素數，可知(p+q)=2n是原通解方程的最簡本原解，也叫二維素數基礎解系，無基礎解系則無相應通解，故與可表偶數互異的例外偶數定是空集。
2.2.1定義相鄰論（Adjacent Theory）是加性數論能保真變換二元關係的底層引擎，是命題可次第歸約的推理工具，是萬物產生關聯的時間紐帶，是函數可擴域和可縮域的必要條件。該數學工具是揭示緊鄰互異必有互素關係的一種離散數學理論。該思想寫成論文最早發表在《數學學習與研究》（2013年3期）上，後經完善編入《深圳基礎理論原創文集（數學物理卷）》（海天出版社2017年）一書裡，再次整理後收錄於數論專集《數學底層引擎相鄰論和重合法》（海天出版社2019）一書中。作者用該數學工具嘗試證明了一系列久未解決的數論難題，如互異版哥德巴赫猜想，考拉茲猜想等，均有突破性進展。
2.2.2歷史二維實數線性空間必有基底，用選擇公理亦可證明之，故根據定義可判定例外偶數因無素數基底解導致為空集，而全集偶數是可表偶數與例外偶數的併集。可表偶數的定義是，所有能用兩互異奇素數之和表達的偶數叫可表偶數，不能用兩互異奇素數之和表達的偶數叫例外偶數。既然例外偶數是空集，那全集偶數就與可表偶數等價，可表偶數全部是用兩互異奇素數之和表示的，那全集偶數也就定可用兩互異奇素數之和全部表示。而二維素數線性空間必有基底，則僅需歸謬法就能證明，如不成立，會與伯特蘭-切比雪夫定理矛盾，會與算術基本定理衝突。這種尋找最簡本原解的思維，可解決很多優化問題。
2.2.3推導過程沒有一對素數之和p+q，便沒有其線性映射（1+b）的通解p+bq。二維素數線性空間必有基底。假如係數向量（1+b）正交作用二元素數基礎解系p+q不能獲得全集偶數2n，便會與伯特蘭-切比雪夫定理矛盾，也會與算術基本定理矛盾。可見沒有二維素數線性空間基礎解系，便沒有通解2n。還已知，例外偶數若存在，也必在通解2n中，也必有2n的二元素數基礎解系，但根據例外偶數的定義，例外偶數與可表偶數p+q互異，也就是說，例外偶數不存在二維素數基礎解系，自然也就沒有該類型偶數對應的通解，故例外偶數是空集。根據全集偶數是可表偶數與例外偶數的併集，可知一旦例外偶數為空集，那可表偶數與全集偶數就同構等價，而可表偶數是完全用兩互異奇素數之和定義的。這就證明了，大於6的全集偶數皆可用兩互奇素數之和表示。互異版的哥德巴赫猜想也就獲證，當然歐拉版的哥德巴赫猜想也就獲證，把3+3=6的特例補上便可。互異版成立，歐拉版就成立，但歐拉版成立，不能直接推出互異版能成立。
2.2.4.應用相鄰論作為強大的數學歸約工具，與數學變換工具重合法一起，可以用來證明很多久未解決的數論猜想，有多米諾骨牌效應，同理可證明齋藤猜想成立，孿生素數猜想成立，此外還可以此為引理，證明黎曼猜想也成立。互異版哥德巴赫猜想獲證，更有利於探索素數的分布。
通過研究與一般集合互異的例外集合其基礎解系或初項元素歸空，從而可證明該類一般集合定同構全集集合。這種打蛇打七寸的思想就是相鄰論。該數學工具專攻事物的主要矛盾，故可廣泛應用於各分支數學中，也可廣泛應用於不同學科中，對於如何判別「鳳毛麟角真心可求」「龜毛兔角子虛烏有」具有鑑別意義。
2.2.5.影響及意義除了用「二維線性空間必有二維素數基底」這一引理證明例外偶數是空集外，還可對應啟發出別的證明方法，同樣可證例外偶數是空集。即通過整數相鄰互素定理的獲證，也可證明哥德巴赫猜想成立，它可證明例外偶數沒有任何素數因子可構造，因為一定會與所有的可表偶數累積互素，而可表偶數是蘊含全集素數因子的，這個也可以用整數相鄰互素定理來證明，更能直觀體現相鄰論的思想。
在三元整數方程a+b=c中，若a、b兩元互素，則三元兩兩互素，假如b、c或b、a非互素，就會導致整數與真分數相等，矛盾，故三元整數方程兩兩互素定理成立。
再證可表偶數蘊含所有素數因子。令2p為可表偶數，2p'為例外偶數，例外偶數就是不能用兩互異奇素數之和表達的偶數，p、p'為互異奇素數，它們的併集須囊括所有的奇素數q。那麼必有2p-2p'=2t，p與p'為互異奇素數，互異素數必互素，根據三元整數方程若兩元互素必三元兩兩互素的性質，p與t必累積互素，p'與t必累積互素。由於構造t的素因子，始終要與p、p'互素，其累積結果導致要與所有的素數q互素，如此t就沒有素因子可構造，加上2p-2^w=2t,t與偶素數也互素，故例外偶數2p'不存在，故可表偶數2p中的p蘊含所有素數因子就得證，則全集可表偶數2m蘊含所有素數因子也就得證。
龍頭例外偶數2h與例外偶數2m約掉2因子後是相鄰互素的，而可表偶數已證明蘊含所有素數因子p，可表偶數與前繼可表偶數也相鄰互素，但其可用遠鄰的新素數因子構造，而例外偶數已定義要與所有的可表偶數互異，意味著要與所有的可表偶數相鄰互素來通關篩查，才能得到例外偶數，即每個例外偶數中的h與所有可表偶數中的m之並是互素的，gcb（h，Upi）=1，gcb（h，Umi）=1，故沒有後繼的素數因子可構造龍頭例外偶數，沒有龍頭例外偶數，也就自然沒有例外偶數全集，從而證明大於6的全集偶數與可表偶數等價。
還有一個至簡的證明方法，出自《數學學習與研究》（2013年3期）上的一篇論文「用重合法可證明哥德巴赫猜想原題」，該文用歸謬法證明，如果可表偶數兩素數之和不能表達所有可表偶數2m的後繼偶數，那添加任意個素數的非可表偶數也不能表達所有偶數，因2m=2h-2，且m和h解集互異，即可表偶數2m（含2p）與龍頭例外偶數2h恆相鄰，h必不含任意m中的所有p因子，h也就不存在，故例外偶數2h表達不了可表偶數的後繼偶數，而p+bq與全集偶數2n是完全等價的，這就反證了兩素數之和必能表達所有可表偶數的後繼偶數。可以理解成，f(f(p+q))=p+q+2，可表偶數互素的生成對象依然是可表偶數，每次互素，但解集等價。而例外偶數，與解集互異，除每次互素，且須與每個可表偶數都累積互素，故為空集。
眾多證明途徑顯示，素數分布雖然沒有通項公式可捕捉，但可用相鄰迭代式去求解素數，因此哥德巴赫猜想可獲存在性證明，它說明基於大質數分解的密碼學是安全的，大質數依然不能快速分解，但加密技術是不能一勞永逸高枕無憂的，哥德巴赫猜想獲證，給大數快速分解質因子提供了一些可優化的方法。故不可等閒視之。根據集合的龍頭初項性質來判定整個集合性質的方法就是一種數學歸約思維，它對提速大質數分解有深遠的意義，對基於離散數學發展而發展的量子力學無疑會連帶受益。
（文/羅莫）