咋一看，許多人會感到奇怪，怎麼素數又跟方的、圓的等各種形狀聯繫在了一起？在上面為什麼會有很多的孿生素數？我們介紹了素數的一些基本統計特性，這裡我們再介紹素數的一些幾何基本特性。
這裡介紹一種稍稍複雜的素數及其分布。這種素數叫高斯素數。高斯素數是指在高斯整數域裡不能因子分解的數。高斯整數指實數和虛數部分都是整數的複數，所有這樣的高斯整數組成了一個整數域，其中的素元素即稱為高斯素數。在數學裡，素元素是指滿足類似整數裡的素數或不可約多項式性質的一個數學對象。
高斯整數是形為a + bi 與a、b都是兩個整數的複數，其中i是複數單位，即-1的平方根。所有這樣的高斯整數組成一整數域，記為Z[i]。使用這樣的高斯整數的高斯算術時會出現許多新的現象，最具有吸引力的是對它們進行幾何解釋的前景。
首先，高斯整數可以簡單地被由下面複數平面中的方形點陣來表示：
高斯整數的加法和乘法可以用幾何方法解釋。任何複數可以被視作為平面中的向量，複數的加法就像向量的加法一樣。x+yi 的大小為 |x+yi| = (x^2+y^2)^(1/2)。任何複數 z = x+yi 可以將其寫成極坐標形式：z = r(cosθ+isinθ) ，其中 r = |z| 。 若 a+bi=re^(αi) 和 c+di=ρe^(βi)，則(a+ib(c+id)=rρe^((α + β)i)，也就是說，其乘積的大小是相應幅度值大小的乘積，其乘積的角度是相應角度的和。
對於整數複數的除法，如果 n、m 是兩個整數，則可以找到整數 q 和 r ，有 n = qm + r，其中 r 在區間[0，m)。這具有很大的優點，即餘數始終是非負數。大多數的程式語言正都是以這種方式實現此整數除法的，特別在目前廣泛使用的解釋型、通用型的高級程式語言Python中，將此方式規定為默認方法。
對於高斯整數域Z[i]，還存在其它高斯除法算法，這種算法比通常對於| r |的範圍規定還要小一些。如果 n 和 m 是兩個高斯整數，則存在高斯整數 q 和 r 使得 n = qm + r，其中| r |不大於|m|/(2^(1/2))。要之所以是如此，首先讓 n / m 作為複數的商，由於有：
然後，如下圖所示，可以寫出 n / m = q + x 其中 q 是高斯整數，及 | x | 小於或等於1/(2^(1/2))。 將此方程乘以 m。
根據定義， 高斯素數是高斯整數 p，該整數只能除以形式為 u 或 u p 的高斯整數，其中 u 是 i 的冪。除法算法的結果，唯一的因式分解對於Z[i] 有效。不同的是要使因式分解成為唯一，需要確定正複數是什麼。特別是它必須在正象限中：如果 x大於0 和 y 不小於0 ，則 x + yi 將為正。每個高斯整數則可以唯一地表示為 u n，其中 u = i^k 和 n 等於高斯正素數的乘積。
舉例來講。對於任何高斯整數，設||n||=|n|^2。 若n=a+bi，||n||=a^2+b^2，則||n||始終是高斯整數域Z的正整數。這意味著一個簡單的標準：如果α是||α||等於Z中的一個素數的高斯整數，那麼α 是高斯素數。 比如，1+i 是高斯素數，因為|| 1+i || = 2。 也可以從晶格圖直接看到，如果||α||=1， 則α = i^。
同樣地對於 5。 有 5 = 4 +1 = (2 + i)(2 -i)，所以它不是素數，但是它的因數 (2 + i) 或(2 -i)是素數。對於3，如果 3 = a b ，則 9 = N(a) N(b)，則有三種情況： N(a)=3，N(b)=3；N(a)=1，N(b)=9；N(a)=9，N(b)=1 。 在後兩種情況下， a 或 b 中的一個是 i 的冪，另一個必須是單位乘以 3。在第一種情況下，如果 a = m + n i ，則 3 = m^2 + n^2 ，必須有 | m | 和 | n | 都小於或等於 1，這導致矛盾。 因此，3 是高斯素數。
下面是一些小範圍的高斯素數（不僅僅是正數）的高斯素數的角度分布圖：
這是具有許多的高斯素數的圖片：