出乎意料的美麗——素數的可視化及其潛在意義

在日常應用中以及作為與所有數學分支相關的主題中，素數（質數）的重要性均不言而喻。我們依靠它們的特殊屬性來承載我們社會無數部分的支柱——所有這一切都是因為它們是自然結構中不可少的一部分。素數通常被稱為數學世界的「原子」，不能再進一步分解（整數乘）。正如卡爾·薩根所描述的那樣：

質數作為所有數中最基本的組成部分的地位具有一定的重要性，質數本身就是我們理解宇宙的組成部分。

質數在自然界和我們的生活中無處不在：蟬用質數來計算它們的生命周期，鐘錶匠用質數來計算滴答聲，航空發動機用質數來平衡空氣脈衝的頻率。然而，所有這些用例與每個密碼學者都熟悉的一個事實相比都顯得蒼白無力：質數是現代計算安全的核心，這意味著質數直接負責幾乎所有事情的安全。同樣，加密是由質數驅動的。

然而，由於我們一直依賴它們獨特的性質，素數一直難以捉摸，這是出了名的。縱觀數學史，最偉大的思想家們都曾試圖證明一個定理，來預測哪些數是質數，或者連續的質數在位置上的距離有多大。事實上，一些尚未解決的問題，如孿生素數、哥德巴赫猜想、回文素數和黎曼假設，都圍繞著素數趨於無窮時的這種普遍的不可預測性和不確定性。當然，自從早期的歐幾裡得算法以來，我們已經發現了一些可以預測某些位置的算法，但是一般的定理還沒有被接受，之前的嘗試也沒有工具來測試大量的數字。然而，21世紀的技術確實允許研究人員用非常大的數字來測試提案，但僅憑這種方法就會引發爭議，因為蠻力測試並不是全球公認的可靠證據。換句話說，質數抗拒任何普遍的公式或等式，它們在自然界的出現似乎是隨機的。

然而，一個簡單的塗鴉證明了它們至少不是完全隨機的……

質數的出現絕不僅僅是巧合，我們擁有的最有力的證據之一來自於最不可能的地方：一個無聊的演講者毫不費力且偶然的塗鴉。

烏蘭螺旋設置

故事是這樣的：1963年，波蘭數學家斯坦尼斯洛·烏蘭姆在一次研討會上偶然發現了一種視覺模式。在繪製網格線的時候，他決定根據一個方形的螺旋圖形來給交叉點編號，然後開始在螺旋圖形中圈出質數。令人驚訝的是，這些圈起來的素數似乎是沿著對角線直線下降的，或者，用烏拉姆稍微正式一點的文字來說，是這樣的：

表現出強烈的非隨機現象

烏拉姆螺線，或者素數螺線，是通過在方形螺線中標記素數集而得到的圖形化描述。它最初是通過馬丁·加德納在《科學美國人》雜誌上的數學遊戲專欄發表並進入主流的。

377x377 (~142K)烏蘭螺旋上面的可視化清楚地突出了重要的模式，尤其是對焦模式。但也許我們在欺騙自己？烏拉姆螺旋的一個常見的反例是，也許我們的大腦只是在欺騙我們，讓我們隨機分配這些模式。幸運的是，我們可以採用兩種不同的方法來確認情況是否如此。視覺上的比較和邏輯上的演練都能讓人相信它們肯定不是隨機的。首先，我們將一個由NxN維矩陣構成的烏拉螺旋與一個包含隨機分配的點的大小相等的NxN矩陣進行比較。其次，我們將彎曲我們的多項式的知識，通過確切地推理為什麼我們應該期待一些模式的視覺布局素數。

如前所述，用烏拉姆螺線確定非隨機模式最直觀的方法是通過直接比較。這是通過創建一個Ulam螺旋和具有相同大小的隨機放置的螺旋。下面是兩個不同的200x200矩陣，代表數字螺旋：

通過視覺上的比較，很明顯，烏拉姆螺旋包含了引人注目的圖案，特別是沿著某些對角軸；此外，即使有集群，也很少。另一方面，點的隨機放置不會產生任何直接的-明顯的模式-正確地導致多向聚類。毫無疑問，這缺乏傳統證明的嚴謹性；然而，在觀察初始螺旋時，有一種純粹的東西，一種無意中發現的方法，產生了一個既能在邏輯上刺激又能在美學上吸引人的圖表。

以一種更有邏輯性和更傳統的方式來理解素數的本質，在這些形象化中期待模式實際上是合理的。如上所述，在對角線、水平線和垂直線方向上的線條似乎包含一條線索。幾條線，不是質數本質上可以解釋為簡單的二次多項式，排除質數——例如，一個對角線將代表y = x顯然不包括質數。另一方面，少數二次多項式，被稱為'公式，產生高密度的質數，如歐拉多項式：x- x - 41，另一條線出現在螺旋模式。

視覺上的比較暗示了模式，而邏輯上的遍歷則通過映射出素數來確認預期模式的存在。再一次，這與尋找所有質數的通用公式相距甚遠，但是烏拉姆螺旋作為知識的標記和自然藝術的一部分，無疑是美麗的。

麻袋螺旋

就像數學中的許多話題一樣，一旦有了一個原始的想法，一群同事就會追隨其後，嘗試為一個新興的領域貢獻自己的一份力量。合理地說，烏拉姆螺旋激發了幾代數學家的靈感，他們試圖在這一迷人的發現上更進一步。1994年，軟體工程師出身的羅伯特薩克斯打算利用自己的編程技能，以不同的方式將質數可視化。

就像烏蘭姆螺旋一樣，薩克斯決定用另一個螺旋平面來構建他的圖表。與上面的方形螺旋類似，螺旋面放棄了傳統的笛卡爾坐標系統來識別一個點，因為這是一個單極定位系統。簡單地知道這個數字就能揭示它在螺旋中的位置，它與螺旋中其他所有數字的相對位置，以及它與上一個和下一個完全平方數之間的距離。然而，薩克斯並沒有使用方形螺旋，而是試圖尋找在阿基米德螺旋上用下列極坐標繪製的整數模式：

阿基米德/薩克斯螺線的極坐標在這種方法中，阿基米德螺線以0為中心，所有自然數的平方(1,4,9,16,25)在螺線與極軸的交點上(在原點正東方)作圖。

從這個設置開始，我們沿著螺旋(逆時針方向)填充正方形之間的點，把它們畫得彼此距離相等。最後，就像上面的烏蘭姆螺旋示例一樣，我們突出顯示了結果螺旋中包含的素數。

《麻袋數螺旋》於2003年首次在網上發布，在視覺上引人注目。此外，正如我們將很快演示的那樣，它也比著名的烏蘭姆螺旋更深入地了解素數模式，因為實際上，它將烏蘭姆偽螺旋的虛線連接在一起：

阿基米德螺線與素數突出，麻袋螺旋結果圖再次強調了明顯的模式。幾乎立即，它是清楚的有一個純粹的白線從中心&水平延伸到東方。回顧我們的設置，我們可以確認這是包含所有完全平方的直線（r = n^5）第二個引人注目的發現是，與烏拉姆螺旋中看到的直線相反，這次的標記圖案似乎更適合模仿曲線。結果是，這些曲線，也被稱為乘積曲線，又回到了多項式直覺，解釋了之前螺旋中出現的模式。然而，在我們進入這些之前，讓我們花一點時間，為了一致性，來比較麻袋的螺旋和隨機繪製的螺旋：

多項式和乘積曲線

羅伯特·薩克斯的工作是根據他最初的發現，廣泛地集中在這些曲線上，這些曲線起源於螺旋的中心，或靠近螺旋的地方和以不同的角度穿過螺旋的手臂。曲線幾乎是筆直的，但更典型的是，它們繞著原點進行部分、完全或多次順時針旋轉(與螺旋本身相反)，然後在與東西軸的特定偏移處變直。麻袋數螺旋上升最引人注目的一個方面是，這些曲線在西半球佔主導地位(與完全平方相反)。

薩克斯將曲線描述為「各因素之間具有固定差異的產品」。換句話說，每條曲線都可以用一個二次方程(二次多項式)來表示，鑑於薩克斯螺旋結構中最重要的是完全平方，因此二次方程也不是純粹的巧合。可以說，這些乘積曲線有助於我們觀察到，在理解素數的過程中，薩克斯螺旋比烏蘭螺旋更有用。雖然原始的烏拉姆螺旋暗示了模式和可能的方程，但薩克斯螺旋巧妙地為基本公式提供了起點——它們的曲率和連續性是結晶的，因此，它們更容易被識別。例如，下面的薩克斯螺旋包含高亮顯示的行，它們的相關主要公式以標準形式標註。正如所承諾的，歐拉著名prime-generating二次公式返回如下所示(注釋：最低n+ n + 41)：

通過螺旋形的數字，薩克斯得出了一個驚人的結論：質數是只存在於一條產品曲線上的正整數。由於螺旋可以向外無限延伸，因此積曲線本身可以認為是無限的，從理論上講，這些產品曲線可以預測較大數字的主要位置——至少，它們值得進一步反省。

總的來說，麻袋螺旋推動我們通過更容易識別的質數公式對質數有更深刻的理解，這是一個結論。

這一切的意義

我們現在已經分析了烏蘭螺旋和薩克斯螺旋。通過這兩個例子，我們對質數背後的本質有了進一步的了解。薩克斯螺旋，特別地，向我們介紹了積曲線，它本質上是一組二次方程式，稱為素公式。這兩個圖都是令人意想不到的美學圖表，安撫了我們的好奇心，並照亮了一個具有普遍挑戰性的問題。

那麼我們能從中學到什麼呢？

從不迴避重新構建看似不可能的問題，即使只是出於好奇和厭倦，往往通過最意想不到的努力展現自己。斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆通過可視化來轉換對一個著名問題的看法，讓我們更接近了解質數，誰知道我們還會遇到多少其他意想不到的發現?