孿生素數猜想

2020-12-04 光明數字報

    素數（也稱質數）是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希臘數學家歐幾裡得在其經典著作《幾何原本》中用反證法證明了素數有無窮多個。圍繞著素數存在許多著名的問題，孿生素數，也稱「雙生素數」或「雙胞胎素數」，就是其中的一個。孿生素數是指一對素數，它們之間相差2，如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等等。是否存在無窮多對孿生素數？這是迄今尚未解決的著名數學難題。

 

A、困擾數學家的謎題

 

    歐幾裡得是最早注意到孿生素數這種有趣現象的人，他曾大膽猜想：存在無窮多對孿生素數。這一猜想被稱為「孿生素數猜想」。法國數學家阿爾方·波利尼亞克在1849年提出了更一般的猜想（即「波利尼亞克猜想」）：對所有正整數k，存在無窮多個素數對（p，p+2k）。k等於1時就是孿生素數猜想，而k等於其他正整數時就稱為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，也有數學家把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。

 

    1900年，德國數學家大衛·希爾伯特在巴黎舉行的第2屆國際數學家大會上發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是19世紀數學的研究成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題（通稱「希爾伯特問題」）；孿生素數猜想是希爾伯特問題的第8個的一部分。由於孿生素數猜想與哥德巴赫猜想屬於「姐妹」問題，一些數學家希望通過解決前者，進而攻克後者。

 

    挪威數學家維果·布朗在1915年通過使用著名的篩法（sieve method）證明了2能表示成兩個最多有9個素數因子的數的差。這個結論已經有些近似於孿生素數猜想了。可以看到，只要將這個證明中的「最多有9個素數因子的數」改進到「最多有1個素數因子的數」，就可以證明孿生素數猜想了。

 

    英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德在1921年提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想，現在通稱為「哈代-李特爾伍德猜想」或「強孿生素數猜想」（即孿生素數猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。由於孿生素數的分布極不均勻，並且隨著數的增大變得越來越稀疏，研究孿生素數分布模式的難度也就非常之大。

 

    在證明孿生素數猜想上的階段性成果，一般地說可以分為兩類。一類是非估算性的，這方面迄今最好的結果是1966年由中國數學家陳景潤利用篩法所取得的。他證明了：存在無窮多個素數p，使得p+2要麼是素數，要麼是兩個素數的乘積。這個結果的形式與他關於哥德巴赫猜想的結果很類似。目前一般認為，由於篩法本身的局限性，這一結果在篩法範圍內很難被超越。

 

    另一類是估算性的，美國數學家丹尼爾·戈德斯坦及其合作者所取得的結果就屬於這一類。這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔。2005年，戈德斯坦等人提出一個重要猜想：存在無窮多間隔小於16的素數對。假設關於算術級數素數分布的埃利奧特-哈伯斯塔姆猜想成立，這一弱孿生素數猜想就可以證明了。這算是一項具有裡程碑意義的成果，但可能存在邏輯推論上的瑕疵破綻。美國數論專家多裡安·戈德菲爾特曾指出：「他們假定了一個沒有人知道如何證明的猜想。」他們提出的弱孿生素數猜想迄今尚未得到證明。

 

B、華裔科學家取得了重大突破

 

    2013年4月，美國新罕布夏大學講師張益唐將一篇題為「素數之間的有界距離」（Bounded gaps between primes）的論文投稿給世界頂級數學期刊《數學年刊》。他證明了：存在無窮多個之差小於7000萬的素數對。由於這項成果很重要，論文很快就被錄用了。

 

    張益唐論文的審稿人、美國數論專家亨裡克·艾溫尼科評價說：「其證明是對的，並且是一流的數學工作。」他認為，張益唐掌握解析數論最複雜課題的知識，並得以運用自如，從而突破令許多專家都止步不前的屏障；張的工作將引發持久雪崩式的優化和改進，以及隨之而來的理論創新。

 

    有關專家指出：這一重大的突破給孿生素數猜想的證明開一個真正的「頭」，並把在茫茫大海撈針的技術活和力氣活縮短到在小小水塘撈針。「這是解析數論歷史上最偉大的成果之一。」英國數論專家安德魯·格蘭維爾如此評價張益唐的工作，「這是非凡的。我從沒想過這會發生在我的有生之年。」

 

    儘管從2到7000萬是一段很大的距離，英國《自然》雜誌在線報導還是稱張益唐的工作為一個「重要的裡程碑」。戈德斯坦指出：「從7000萬到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比於從無窮到7000萬的距離（指張益唐的工作）來說是微不足道的。」他認為，每縮小一段範圍，都是在獲得終極答案（k=1）的道路上踏上一個腳印。

 

    在張益唐論文被公布於眾後，短短的一個月以內，「7000萬」就被華裔數學家、菲爾茨獎得主陶哲軒發起的網上討論班縮小到6萬；在7月底前，數字已經縮小到了5000以下。陶哲軒和英國數學家本·格林在2004年證明了一個與孿生素數猜想有關的重要命題——存在任意長的素數等差數列；這是一項偉大的成就。

 

    國際數論界認為，張益唐工作是解析數論的頂峰之作。不少世界主流媒體都對他的重要成果和傳奇經歷作了報導，並給予了高度評價。張益唐率先證明了弱孿生素數猜想，先後獲得晨興數學卓越成就獎、奧斯特洛夫斯基數學獎和科爾數論獎，最近也由講師直接升至正教授。

 

C、孿生素數研究的最新進展

 

    加拿大蒙特婁大學26歲的博士後詹姆斯·梅納德最近宣稱：他已將無窮多個素數對之差縮小到600。這名前不久才從英國牛津大學獲得博士學位的年輕數學家已收到許多來自同行的祝賀和鼓勵；其研究成果將發表在科學刊物上。

 

    他的博士後導師格蘭維爾認為，梅納德的工作大大加深了人們對素數的了解，他的成果令人感到興奮不已；孿生素數猜想證明又前進了一大步。事實上，他的方法也有益於解決其他數學問題。

 

    梅納德兒時就對數字、拼圖和邏輯推理遊戲特別感興趣，讀小學時被老師和同學們稱為「數學神童」。攻讀博士學位期間他已嘗試證明孿生素數猜想。因性格孤僻，他喜歡獨自探究這一猜想。

 

    他找到了一種用於改進和簡化張益唐的方法的新方法，更換了一種用於估計一個數字是素數的概率的新工具。他說：「張益唐和我從同一點開始，但我們採取了完全不同的路徑。我使用的方法要簡單得多。」

 

    梅納德認為其方法既適用於孿生素數，又適用於三胞胎素數（由三個連續素數組成的數組）、四胞胎素數（由四個連續素數組成的數組）和更大的素數集合。他已表明，人們可以沿著實數直線找到任何選定素數數量的有界集群。

 

    梅納德在接受媒體採訪時表示，用他的方法可以將無窮多個素數對之差縮小到6（即k等於3），但不能縮小到2；要縮小到2，仍需新的方法和工具。他堅信孿生素數猜想是可以證明的。讓我們拭目以待！（作者為挪威奧斯陸大學博士後）

 

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  • 華人數學家張益唐證明「弱孿生素數猜想」
    目前已知的最大孿生素數是3756801695685×2^666669-1和3756801695685×2^666669+1，這兩個數都有200700位。關於孿生素數有孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數。1849年，法國數學家阿爾方·波利尼亞克提出了「波利尼亞克猜想」：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)。
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  • 170歲「高齡」了 孿生素數猜想還未得到證明
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  • 發現「孿生素數」猜想的證據，但可能在另外一個宇宙中
    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。「孿生素數」是在那條線上彼此相差2的質數：3和5，5和7，29和31，137和139，依此類推。
  • 張益唐與孿生素數
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    數學家們為數學中最著名但尚未被證實的假設之一——「孿生素數」猜想——找到了新的證據，但證據的路徑可能無助於證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是猜測一個素數(它只能被自己整除並且是1)如何以及何時出現在一行數字上。」
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    這樣堅持了30多年......2013年張益唐第一次成功證明弱版本的孿生素數猜想......」　　這是在2013年8月22日9時許，具有傳奇色彩的美國新罕布夏大學張益唐博士應中國科學院數學與系統科學研究院的邀請出席華羅庚講座時，講座主持人中科院院士王元對他的評價。
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    數學家們為數學中最著名，但未被證明的猜想之一發現了一個新證據，這個猜想被稱為「孿生素數」猜想；但這個證據的路線可能不會幫助證明孿生素數猜想本身。孿生素數猜想是關於素數（只能被自身整除且為1的數字）如何以及何時出現在數線上的猜想。
  • 孿生素數猜想,張益唐究竟做了一個什麼研究?
    （文/王若度）最近，《自然》雜誌的網站上刊登了一篇文章，在華人數學愛好者和學者之間產生了轟動。該文章的標題是《第一個無窮組素數成對出現的證明》。「孿生素數猜想」是什麼？這篇文章為何會引起轟動呢？這要從「孿生素數猜想」說起。眾所周知，素數是只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。而「孿生素數」是指兩個相差為2的素數，例如3和5，17和19等。
  • 數學家們操碎了心的孿生素數猜想,有了新突破
    作者丨佐佑 孿生素數猜想是數論領域中最著名的猜想之一，自提出以來，便一直困擾著數學家。孿生素數是指那些相差為2的素數對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素數（即3和5）之外，每個孿生素數對中的第一個素數總是比6的倍數小1。所以第二個孿生素數總是比6的倍數大1。孿生素數猜想說的是，在自然數集中，這樣的孿生素數對有無窮多個。
  • 隱沒多年,華裔數學家完成「孿生素數猜想」
    2013年5月18日，「孿生素數猜想」重大突破性進展的論文在國際數學界頂級期刊《數學年刊》發表後，張益唐在隨後的一年接連獲得美國數學學會2014年度柯爾數論獎、瑞典2014年度羅夫肖克獎，及2014年麥克阿瑟天才獎等國際數學界重量級獎項。2016年，張益唐接受加州大學聖塔芭芭拉分校(UCSB)校長的邀請，開始在該校數學系任教至今。
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    在接受中國青年報記者採訪時，沈捷回憶說，此前一天，他和夫人就張益唐在孿生素數方面取得的突破向他發去郵件道賀。　　5月14日，《自然》(Nature)雜誌在線報導張益唐證明了「存在無窮多個之差小於7000萬的素數對」，這一研究隨即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響將超過陳景潤的「1+2」證明。
  • 北大畢業華人數學家張益唐取得重大成就 孿生素數猜想或有突破
    >很多數學猜想都是「世紀大難題」，和至今尚未有解的黎曼猜想、哥德巴赫猜想一樣，孿生素數猜想也是著名的數學猜想。很多數學家希望通過解決孿生素數問題，進而攻克哥德巴赫猜想。素數，是指只含有兩個因子的自然數（即只能被自身和1整除）。孿生素數，是指兩個相差為2的素數。比如，3和5，17和19等。所謂的孿生素數猜想，是由希臘數學家歐幾裡得提出的，意思是存在著無窮對孿生素數。